高中数学全程复习方略2.1.2.2椭圆方程及性质的应用(共63张ppt)
63页1、第2课时 椭圆方程及性质的应用,1.进一步熟练掌握椭圆的标准方程和几何性质. 2.掌握直线和椭圆的位置关系的判断方法,能利用直线和椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦等问题.,1.本课的重点是直线和椭圆的位置关系. 2.本课的难点是与椭圆相关的综合问题.,直线与椭圆的位置关系及判定,2,1,0,两,一,无,=,1.能否像判断直线和圆的位置关系那样,利用椭圆的中心到直线的距离判断直线和椭圆的位置关系? 提示:不能.因为椭圆不是圆,中心到椭圆上点的距离不全相等.,2.如果直线把椭圆分成面积相等的两部分,则直线一定经过椭圆的_. 【解析】由椭圆为中心对称图形可知,直线一定过椭圆的中心. 答案:中心,3.直线 和椭圆x2+4y2=20的交点坐标是_. 【解析】由 得x2+2x-8=0, 解得x=2或x=-4,将其分别代入直线方程得交点坐标为(2,2) 和(-4,-1). 答案:(2,2)和(-4,-1),直线与椭圆的位置关系及判定方法的理解 (1)直线与椭圆有相交、相切和相离三种情况,其位置关系的几何特征分别是直线与椭圆有两个交点、有且只有一个交点、无公共点,并且二者互为充要条件.,(2)判断
2、直线与椭圆的位置关系可使用代数法,即通过方程研究,先将直线方程与椭圆的方程联立,消去一个未知数y(或x),得到关于x(或y)的一个一元二次方程.由于该一元二次方程有无实数解、有几个实数解与方程组的解的个数相对应,故利用一元二次方程根的判别式,根据0,0还是=0即可判断方程组解的个数,从而得出直线与椭圆的交点情况.,直线与椭圆位置关系的判定 【技法点拨】 判断直线与椭圆位置关系的步骤,【典例训练】 1.直线 与椭圆x2+4y2=2 的位置关系是_. 2.若直线ykx1与焦点在x轴上的椭圆 总有公共 点,求m的取值范围,【解析】1.联立方程组得 消去y,整理得5x2-4x-1=0(), =(-4)2-45(-1)=360, 即方程()有两个实数根,所以方程组有两组解,即直线和 椭圆相交. 答案:相交,2.方法一:由 消去y,整理得 (m5k2)x210kx5(1m)0, 100k220(m5k2)(1m)20m(5k2m1) 直线与椭圆总有公共点, 0对任意kR都成立 m0,5k21m恒成立,1m0,即m1. 又椭圆的焦点在x轴上,0m5, 1m5.,方法二:直线ykx1过定点M(0,1)
3、, 要使直线与该椭圆总有公共点,则点M(0,1)必在椭圆内或椭 圆上, 由此得 解得1m5.,【想一想】(1)解决直线和椭圆位置关系的问题中联立方程组消元时有何运算技巧? (2)求解2题m的范围时容易出现什么错误? 提示:(1)判断直线和椭圆的位置关系时,联立直线方程和椭圆方程组成的方程组消元是必有的步骤,在运算时先将椭圆的方程化成整式形式(即各项都是整式),再代入消元,会使运算变得简捷不易出错.,(2)求解第2题m的范围时,容易忽略椭圆方程对m范围的限制而得出m1的错误结论.,【变式训练】对不同的实数值m,讨论直线yxm与椭圆 的位置关系 【解析】联立方程组得 将代入得 整理得5x28mx4m240, (8m)245(4m24)16(5m2),当0,即 时,方程有两个不同的实数根, 代入可得到两个不同的公共点坐标,此时直线与椭圆相交; 当0,即 或 时,方程有两个相等的实数 根,代入可得到一个公共点坐标,此时直线与椭圆相切; 当0,即 或 时,方程没有实数根,直线 与椭圆相离,弦长问题 【技法点拨】 直线和椭圆相交所得弦长的两种求法 方法一:求出直线和椭圆的两个交点坐标,利用两点间距
4、离公式求弦长;,方法二:利用弦长公式 设直线方程为y=kx+m,椭圆方程为 或 直线与椭圆的两个交点为A(x1,y1), B(x2,y2),则 或 其中k 表示弦所 在直线的斜率,x1,x2,y1,y2表示弦的端点坐标,由根与系数的 关系求得x1+x2,x1x2与y1+y2,y1y2的值.,【典例训练】 1.椭圆 被过右焦点且垂直于x轴的直线所截得的弦长 为_. 2.(2011四川高考改编)椭圆有两顶点A(-1,0),B(1,0), 过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C,D两点,当|CD| 时,求直线l的方程.,【解析】1.椭圆右焦点坐标为 过右焦点且与x轴垂直的 直线与椭圆的两交点为 所以所求的弦长为1. 答案:1,2.解题流程:,联立 方程,弦长公式,【互动探究】在2题条件不变的情况下,试求ACD的面积. 【解题指南】先根据弦长公式求出直线l的方程,再利用点到直线的距离公式求出已知顶点A到直线的距离,即得到CD边上的高,进而求出ACD的面积.,【解析】由2题的解析知,l的方程为 或 当直线方程为 即 时,点A(-1,0)到直 线的距离为 当直线方程为 即 时,点A(-1,0)到
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