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2017高中数学课本典例改编之必修四、五：专题六不等式 (含解析)

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常见问题

1、专题六不等式一、题之源：课本基础知识1实数大小顺序与运算性质之间的关系ab0ab；ab0ab；ab0a0直线AxByC0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线AxByC0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分4.二元一次不等式(组)的解集满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x,y),叫做二元一次不等式(组)的解,所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集5线性规划的有关概念名称意义约束条件由变量x,y组成的不等式(组)线性约束条件由x,y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x,y的函数解析式,如zx2y线性目标函数关于x,y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x,y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题6基本不等式(1)基本不等式成立的条件：a0,b0(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号7算术平均数与几何平均数设a0,b0,则a,b的算术平均数为,几何平均数为,基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数

2、不小于它们的几何平均数8利用基本不等式求最值问题已知x0,y0,则(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当xy时,xy有最小值是2(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值p,那么当且仅当xy时,xy有最大值是(简记：和定积最大)二、题之本：思想方法技巧1.理解不等关系的意义、实数运算的符号法则、不等式的性质,是解不等式和证明不等式的依据和基础.2.一般数学结论都有前提,不等式性质也是如此.在运用不等式性质之前,一定要准确把握前提条件,注意放宽条件和加强条件与其结论的关系,以及条件与结论间的相互联系.如：同向不等式相加,方向不改变；都是正数的同向不等式相乘,方向不改变；异向不等式相减,方向与被减不等式方向相同；都是正数的异向不等式相除,方向与被除不等式方向相同；两个正数的n次(nN,n1)方(开n次方),当这两个正数相等时,它们的幂(方根)相等；而不等的两个正数,它们的幂(方根)不等,较大的正数幂(方根)较大.(1)在应用传递性时,注意等号是否传递下去,如ab,bcabac2bc2；若无c0这个条件,abac2bc2就是错误结论(当c0时,取“”)3不等式中的倒数性质(1)ab,ab0；

3、(2)a0bb0,0c；(4)0axb或axb00(a0)；(2)线性规划问题中的最优解不一定是唯一的,即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个,也可能有无数多个,也可能没有18求zaxby(ab0)的最值步骤将函数zaxby转化为直线的斜截式：yx,通过求直线的截距的最值间接求出z的最值(1)当b0时,截距取最大值时,z也取最大值；截距取最小值时,z也取最小值；(2)当b0时,截距取最大值时,z取最小值；截距取最小值时,z取最大值19.利用线性规划解决实际问题的求解步骤如下：(1)审题：仔细阅读材料,抓住关键,准确理解题意,明确有哪些限制条件,主要变量有哪些由于线性规划应用题中的量较多,为了了解题目中量与量之间的关系,可以借助表格或图形；(2)设元：设问题中起关键作用的(或关联较多的)量为未知量x,y,并列出相应的不等式组和目标函数；(3)作图：准确作图,平移找点(最优解)；(4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)；(5)检验：根据结果,检验反馈20.要熟悉基本不等式的变式和推广,这对提高解题能力是有帮助的,常见的基本不等式和推广有：a2b2；ab；ab(ab)2；(ab

4、)24ab；abc等.a、b、cR,（当且仅当时,取等号）；对于上面的式子,要明了其成立的条件和取“”的条件.21.在利用基本不等式求最值时,要注意一正,二定,三相等.“一正”是指使用均值不等式的各项(必要时,还要考虑常数项)必须是正数；“二定”是指含变数的各项的和或积必须是常数；“三相等”是指具备等号成立的条件,使待求式能取到最大或最小值.22.基本不等式的应用在于“定和求积,定积求和；和定积最大,积定和最小”,必要时可以通过变形(拆补)、运算(指数、对数运算等)构造“和”或者“积”为定值.23.求型最值问题,常通过“1”来进行转化,但不是所有的最值都可以通过基本不等式解决,有一些看似可以通过基本不等式解决的问题,由于条件的限制,等号不能够成立,这时就不能用基本不等式来解决,而要借助于其他求值域的方法来解决.24.对于形如f(x)的最值问题,只要分母xd0,都可以将f(x)转化为f(x)a(xd)h(这里ae0；若ae0,可以直接利用单调性等方法求最值),再利用基本不等式求其最值.25. 一般地,对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题,对于“恒成立”的不等式,一般的

5、解题方法是先分离然后求函数的最值.另外,要记住几个常见的有关不等式恒成立的等价命题：(1)af(x)恒成立af(x)max；(2)af(x)恒成立af(x)min；(3)af(x)有解af(x)min；(4)af(x)有解af(x)max.三、题之变：课本典例改编1.原题（必修5第75页习题3.1A组第2题）改编若试比较与的大小.【解析】平方作差可得：.2.原题（必修5第80页习题3.2A组第3题）改编已知方程有两个不等正实根,求实数的取值范围.【解析】依题意有：,故或.3.原题（必修5第81页习题3.2B组第二题）改编1 若函数的定义域为,则的取值范围是【解析】要使有意义,即对恒成立,则,即.改编2 若恒成立,则的取值范围是【解析】当时,不等式等价于：,即不是恒成立,要使恒成立,则,即.改编3 若函数的定义域不是,则的取值范围是【解析】要使函数有意义,则存在,使得（*）当时,（*）等价于：,即,满足题意；当时,即；当时,即；综上,改编4 若函数的值域是,则的取值范围是 4.原题（必修5第80页习题3.2A组第四题）改编已知不等式的解集为A,不等式的解集是B. （1）求；（2）若不等式的解集是求的解集.【解析】（1）解得,所以. 解得,所以. . （2）由的解集是,所以,解得 ,解得解集为R. 5.原题（必修5第87页例题）改编横坐标、纵坐标都是整数的点是整点坐标若直线（为正整数）,与坐标轴围成三角形内的整点坐标（含周界）的个数是100,则等于（） A9 B18 C11 D22【解析】B.6.原题（必修5第100页练习题第1题）改编求函数的值域.

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