泰勒公式与极值问题-2
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17.4 泰勒公式与极值问题(2),17.4.1 高阶偏导数 17.4.2 中值定理 17.4.3 Taylor公式 17.4.4 极值问题 17.4.5 多元函数的最值,17.4.3 Taylor公式,复习一元函数的泰勒公式(带拉格朗日余项),说明：(1)如削弱定理3条件，,定理 4,则有,微分中值定理,例 9,解,其中,P.135136 例4 .,17.4.4 极值问题(以二元为例),播放,1. 极值的定义,小,小,(1),(2),例11,例12,事实上,同理,(3),例13,2、多元函数取得极值的必要条件,综上所述,有,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的稳定点(驻点).,稳定点,极值点,注意：,问题：如何判定一个稳定点是否为极值点？,3. 极值的充分条件,代数准备:,二元( 实 )二次型.,其矩阵为:,充分条件的讨论,于是由上述代数准备, 有,综上 , 有以下定理 .,P.138例6,P.138例7,P.138例8,17.4.5 多元函数的最值,求最值的一般方法： 将函数在D内的所有稳定点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.,与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.,证明：,解之，得(定义域内的唯一解)：,外切三角形中以正三角形的面积为最小.,最值的求法：,(1).有界闭区域 上的连续函数，,一定存在最值,求“可疑点” 的 函数值,稳定点,不可导点,求边界上的最值,比较大小求最值,(2).有时可由问题的实际意义判定,练习题解答,5.判断正确与错误，对的证明，错的举出反例：,练习题解答,解：,所以，存在最大值与最小值。,解：,解：,唯一 稳定点,5.判断正确与错误，对的证明，错的举出反例：,（）,（）,（）,解,由,解,如图,17.4.4 极值问题(以二元为例),17.4.4 极值问题(以二元为例),17.4.4 极值问题(以二元为例),17.4.4 极值问题(以二元为例),17.4.4 极值问题(以二元为例),17.4.4 极值问题(以二元为例),17.4.4 极值问题(以二元为例),17.4.4 极值问题(以二元为例),17.4.4 极值问题(以二元为例),返回,
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