《直角三角形的边角关系》教案1（北师大版九年级下）

1、第1章 直角三角形的边角关系课题回顾与思考教具目标(一)教学知识点1经历回顾与思考，建立本章的知识框架图2利用计算器，发现同角的正弦、余弦、正切之间的关系。3进一步体会直角三角形边角关系在现实生活中的广泛应用(二)能力训练要求1体会数形之间的联系，逐步学会利用数形结合的思想分析问题和解决问题2进一步体会三角函数在现实生活中的广泛应用，增强应用数学的意识(三)情感与价值观要求1在独立思考问题的基础上，积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点并尊重与理解他人的见解，在交流中获益2认识到数学是解决现实问题的重要工具，提高学习数学的自信心教学重点1建立本章的知识结构框架图2应用三角函数解决现实生活中的问题，进一步理解三角函数的意义教学难点应用三角函数解决问题教学方法探索发现法教具准备多媒体演示、计算器教学过程回顾、思考下列问题，建立本章的知识框架图师直角三角形的边角关系，是现实世界中应用广泛的关系之一通过本章的学习，我们知道了锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题，般来说，这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角

2、形中边和角的关系利用锐角三角函数解决实际问题是本章的重要内容，很多实际问题穿插于各节内容之中问题门举例说明，三角函数在现实生活中的应用生例如：甲、乙两楼相距30 m，甲楼高40 m，自甲楼楼顶看乙楼楼顶仰角为30，乙楼有多高?(结果精确到1 m)解：根据题意可知：乙楼的高度为30tn30=40+30=40+1057(m)，即乙楼的高度约为57 m生例如，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距180 m的P和Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正南方向，在Q南偏西50的方向，求河宽(结果精确到1 m)解：根据题意，TPQ90，PQT=90-5040，PQ180 m则：PT就是所求的河宽在RtTPQ中，PT=180tan40=1800839151 m，即河宽为151 m师三角函数在现实生活中的应用很广泛，下面我们来看一个例子多媒体演示如图MN表示某引水工程的一段设计路线从M到N的走向为南偏东30，在M的南偏东60的方向上有一点A，以A为圆心，500 m为半径的圆形区域为居民区，取MN上的另一点B，测得BA的方向为南偏东75，已知MB400 m，通过计算回答，如果不改变方向，输水

3、路线是否会穿过居民区?师生共析解：根据题意可知CMB=30，CMA60，EBA75，MB=400 m，输水路线是否会穿过居民区，关键看A到MN的最短距离大于400 m还是等于400 m，于是过A作ADMN垂足为DBE/MCEBDCMB30 ABN=45AMDCMA-CMB60-30=30在RtADB中，ABD45，tan45，BDAD，在RtAMD中AMD=30，tan30=，MD=AD，MD=MD-BD，即 AD-AD400，AD-200(+1)m400m所以输水路线不会穿过居民区师我们再来看问题2任意给定一个角，用计算器探索这个角的正弦、余弦、正切之间的关系例如25，sin、cos、tan的值是多少?它们有何关系呢?生sin2504226，cos2509063，tan2504663而04663我们可以发现tan师这个关系是否对任意锐角都成立呢?我们不妨从三角函数的定义出发来推证一下师生共析如图，在RtABC中C90，sinAcosAtanA， =tanA, tanA=.这就是说，对于任意锐角A，A的正弦与余弦的商等于A的正切师下面请同学们继续用计算器探索sin，cos之间的关系生s

4、in22501787,cos22508213，可以发现：sin225+cos22501787+082131师我们可以猜想任意锐角都有关系：sin2+cos21，你能证明吗?师生共析如上图sinA= ，cosA=sin2A+cos2A，根据勾股定理，得BC2+AC2AB2，sin2A+cos2A1，这就是说,对于任意锐角A，A的正弦与余弦的平方和等于1师我们来看一个例题，看是否可以应用上面的tanA、sinA、cosA之间的关系已知cosA=，求sinAtanA生解：根据sin2A+cos2A1得sinAtanA=.生我还有另外一种解法,用三角函数的定义来解解：cosA 设A的邻边3k斜边5k则A的对边sinA=tanA=师问题3：你能应用三角函数解决哪些问题?生锐角三角函数反映了直角三角形的边角关系凡是属于直角三角形的问题或可以转化为直角三角形的问题，都可以用三角函数来解决师我们知道在直角三角形中，除直角外，有两个锐角两条直角边以及斜边共5个元素，它们之间的关系很丰富如图：在RtABC中，C90，A、B、C所对的边分别为a、b、c(1)边的关系：a2+b2=c2(勾股定理)：(2)角的

5、关系：A+B90；(3)sinA=，cosA=，tanA=；sinB=，cosB=，tanB=利用三角形的全等和直角三角形全等，以及作图，我们知道：当一直角边和斜边确定时，直角三角形唯一确定，即直角三角形的一直角边和斜边已知，则直角三角形中其他元素都可以求出同学们不妨试一试生例如RtABC中，C90a4，c=8求b，A及B解：a4，c8，根据勾股定理可得b=. sinA=，A30又A+B90，B60师很好，是不是只要知道直角三角形除直角外的两个元素，其余元素就都可以求出呢?生甲可以生乙不可以例如RtABC中，c90，A25B=65这样的直角三角形有无数多个，是不唯一确定的，所以其余的元素无法确定生丙我认为已知直角三角形中除直角外的两个元素其中至少有一个边，就可以求出其余元素师很好，我们来做一个练习多媒体演示：在RtABC中，C90，a、b、c分别是A，B、C的对边(1)已知a3，b3，求C，A，B(2)已知b5，c10，求a，A，B(3)已知A=45，c8，求a，b，B生解：(1)根据勾股定理c=.又tanAA=1, A=45又A+B90，B45(2)根据勾股定理，得a=,又sinBB

6、=30又A+B=90A=60.(3) sinA= =csinA=8sin45=4,又cosA b=ccosA8cos45=4，又A+B90，B=45师实践证明，在直角三角形中，已知除直角外的两个元素(至少有一个是边)，利用直角三角形中特殊的边的关系、角的关系、边角关系，就可求出其余所有元素因此，在现实生活中，如测量、建筑、工程技术和物理学中，常遇到的距离、高度、角度都可以转化到直角三角形中，这些实际问题的数量关系往往就归结为直角三角形中边和角的关系问题接下来，我们看问题4：如何测量一座楼的高度?你能想出几种办法?生有四种方法：第一种：用太阳光下的影子来测量因为在同一时刻，物体的高度与它的影子的比值是一个定值测量出物体的高度和它的影子的长度，再测出高楼在同一时刻的影子的长度利用物体的高度：物体影子的长度高楼的高度，高楼影子的长度便可求出高楼的高第二种：在地面上放一面镜子，利用三角形相似，也可以测量出楼的高度第三种：用标杆的方法第四种：利用直角三角形的边角关系求楼的高度师下面就请同学们对本章的内容小结，建立本章内容框架图师生共析本章内容框架如下：随堂练习1计算(1)(2)sin230+2s

7、in60+tan45-tan60+cos230；(3)原式解：（1）原式=1；（2）原式=（）2+2+1-+（）2；=1+1=2（3）原式=1-tan60-tan60tan60-1-tan60-12如图，大楼高30 m，远处有一塔BC，某人在楼底A处测得塔顶的仰角为60，爬到楼顶D测得塔顶的仰角为30，求塔高BC及楼与塔之间的距离AC(结果19确到00l m)解：没AC=x，BCy，在RtABC中，tan60=，在RtBDE中tan30=，由得yx，代入得=.x=152598(m)将x15代入y=x=15 45(m)所以塔高BC为45 m，大楼与塔之间的距离为2598 m课时小结本节课针对回顾与思考中的四个问题作了研讨，并以此为基础，建立本章的知识框植架结构图进一步体验三角函数在现实生活中的广泛应用课后作业复习题A组1，2，5，6，8B组23，4，5，6活动与探究如图AC表示一幢楼，它的各楼层都可到达；BD表示一个建筑物，但不能到达已知AC与BD地平高度相同，AC周围没有开阔地带，仅有的测量工具为皮尺(可测量长度)和测角器(可测量仰角、俯角和两视线间的夹角)(1)请你设计一个测量建筑物BD高度的方案，要求写出测量步骤和必要的测量数据(用字母表示)，并画出测量示意图：(2)写出计算BD高度的表达式过程利用测量工具和直角三角形的边角关系来解决这里的答案不唯一，下面只写出一种方法供参考结果测量步骤(如图)：用测角器在A处测得D的俯角；用测角器在A处测得B的仰角用皮尺测得AC=am(2)CD=,BE=tan,BD=a+.板书设计 回顾与思考本章内容结构框架图:学优;中|考，网学优中考网

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