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（2)拉格朗日插值法和牛顿插值法MATLAB

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1、西安工业大学2018-2019(1)学期计算方法上机实验报告题目：数值分析学院：理学院专业：数学与应用数学姓名: 靳玉梅学号：16100305120 题目：拉格朗日插值法和牛顿插值法实验目的：1.初步掌握拉格朗日插值法的计算原理和算法,解决实际问题。2用matlab程序及和解决的实际问题。3. 熟练掌握数学软件matlab在计算方法中的应用。二、实验原理：Lagrange插值:是为次多项式插值，首先考察低次的插值多项式。当时，要构造出过两点与的多项式（次数不超过1次且），使得。则可以写成，式它是两个线性函数：的线性组合，所以称为线性插值多项式.当时，相应的构造出过三点的多项式（次数不超过2且），使得。则可写成：式被称为抛物线插值多项式。同理，当为插值节点时，有,则可写成：式被称为Lagrange插值多项式.在，式子中，均为插值基函数，且满足：，即得.误差估计由定理形式给出：设为区间上互不相同的节点，且在内存在，满足的插值多项式，则对，使得 .还可写成其截断误差： .其中，.Lagrange插值多项式的优点是表达式简单明确、便于推导、格式整齐规范；缺点是没有承上启下性和计算

2、量大，即当需要增加、减少新的节点或节点位置变化时，就得从新计算所以的函数。Newton插值法给定了函数在节点处的函数值。那么有形如：，称为函数关于节点处的一阶差商。同理给出在节点处的函数值。则被称为函数关于节点的阶差商。由差商的定义可以得出：所以有：其中：，即是过n+1个插值点的n阶Newton插值多项式，为插值多项式误差。由于次Newton插值多项式与次Lagrange插值多项式是恒等的，只是表达方式不同，即Newton插值多项式的余项和Lagrange插值多项式的余项相同：.三、实验内容与步骤：、实验内容：解决问题：已知函数y0=lagrange(x,y,1.5)其中x=0,1,2,4;y=1,9,23,3;y0=lagrange(x,y,1.5)拉格朗日插值法：function y=lagrange(x0,y0,x);% 根据拉格朗日插值定义编写n=length(x0);m=length(x);for i=1:m z=x(i); s=0.0;%给s的初值 for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j=k p=p*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j);

3、end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s;end牛顿插值法：function yi=New_Int(x,y,xi)%Newton基本插值公式%x为向量，全部的插值节点%y为向量，差值节点处的函数值%xi为标量，是自变量%yi为xi出的函数估计值n=length(x);m=length(y);if n=m error(The lengths of X ang Y must be equal!); return;end%计算均差表YY=zeros(n);Y(:,1)=y;for k=1:n-1 for i=1:n-k if abs(x(i+k)-x(i)eps error(the DATA is error!); return; end Y(i,k+1)=(Y(i+1,k)-Y(i,k)/(x(i+k)-x(i); endend%计算牛顿插值公式yi=0;for i=1:n z=1; for k=1:i-1 z=z*(xi-x(k); end yi=yi+Y(1,i)*z;end、实验步骤：a.启用matlab，打开matlab中command窗口。. b根据原理写入

4、如下程序拉格朗日插值法;x=0,1,2,4;y=1,9,23,3;y0=lagrange(x,y,1.5)牛顿插值法;clear all clcx0=0.4 0.55 0.65 0.80 0.90 1.05;y0=0.41075 0.57815 0.69675 0.88811 1.0265 1.25382; x1=0.596; % 待插值点。y1=New_Int(x0,y0,x1)% y1即为待插值点的函数值。 c调试程序运行结果。四、实验数据及结果：拉格朗日插值法：牛顿插值法：五、实验结果分析：拉格朗日插值法与牛顿插值法都是二种常用的简便的插值法。但牛顿法插值法则更为简便，与拉格朗日插值多项式相比较，当用Newton插值多项式计算较高次的插值时，只需添加一项对应的节点和在这节点处的计算即可，而表达式前面的计算仍然有效，从而节省了计算量。但是用Lagrange插值多项式计算较高次的插值时，在添加一项对应的节点和其计算时，表达式也要经过重新计算，计算量明显的增大。所以Newton插值多项式在这一点上克服了“增加一个节点时整个计算工作必须重新开始”，这样一个承上启下的问题。同时，在牛顿插值多项式中用到的差分与差商等概念，又与数值计算的其他方面有着密切的关系。但随着次数n的增大，其误差不是很稳定，所以Newton插值对高次插值是不可取的。六、参考文献：MATLAB实现拉格朗日插值法实验报告（道客巴巴）MATLAB实现牛顿插值法实验报告（道客巴巴）数值分析第五版（清华大学出版社.李庆扬编）数学实验第2版（MATLAB版.韩明编）拉格朗日插值法MATLAB程序解析（CSDN）

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