高考试题)新人教a 版52
28页1、镇成立由镇委书记孙广东任组长,镇委副书记、镇长任副组长,镇直相关部门主要领导为成员的意识形态工作领导小组,统筹协调全镇意识形态工作考点37 立体几何中的向量方法1.(2013北京高考理科17)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC平面AA1C1C,AB=3,BC=5.(1)求证:AA1平面ABC;(2)求二面角A1-BC1-B1的余弦值;(3)证明:在线段BC1存在点D,使得ADA1B,并求的值.【解题指南】(1)利用面面垂直证明线面垂直.(2)建系,求出二面角对应两个面的法向量,利用法向量的夹角求二面角的余弦值.(3)设出D点坐标,利用向量解题.【解析】(1)是正方形,。又,。(2),。分别以为建立如图所示的空间直线坐标系。则,设平面的法向量为,平面的法向量,。可得可取。由图可知二面角A1-BC1-B1为锐角,所以余弦值为。(3)点D的竖轴坐标为t(0t4),在平面中作于E,根据比例关系可知, ,又,。2. (2013辽宁高考理科18)如图, 是圆的直径,垂直圆所在的平面,是圆上的点。求证:平面平面;若求二面角的余弦值。【解题指南】利用条件证
2、明线线垂直,进而证明线面垂直,由面面垂直的判定定理解决问题;借助前面的垂直关系,建立空间直角坐标系,利用向量法求二面角的余弦值。【解析】由是圆的直径,得;由垂直于圆所在的平面,得平面;又平面,得;又所以,又因为据面面垂直判定定理,平面平面;过点作,由知平面.如图所示,以点为坐标原点,分别以直线为轴,建立空间直角坐标系。在直角三角形ABC中,所以又所以故设平面的法向量为则不妨令,则故设平面的法向量为,由同理可得于是结合图形和题意,二面角的余弦值为第19题解答图13. (2013湖北高考理科T19)如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,直线PC平面ABC,E,F分别是PA,PC的中点. 第19题图()记平面BEF与平面ABC的交线为,试判断直线与平面PAC的位置关系,并加以证明。()设()中的直线与圆O的另一个交点为D,且点Q满足,记直线PQ与平面ABC所成的角为,异面直线异面直线PQ与EF所成的角为,二面角E-C的大小为,求证: 【解题指南】()利用线面平行的判定和性质定理求解.()用综合法,利用三角函数证明或用向量法,利用法向量的夹角证明.【解析】()直线平面,证明如下:
3、 第19题解答图1连接,因为,分别是,的中点,所以. 又平面,且平面,所以平面.而平面,且平面平面,所以.因为平面,平面,所以直线平面. ()方法一:如图1,连接,由()可知交线即为直线,且.因为是的直径,所以,于是.已知平面,而平面,所以.而,所以平面.连接,因为平面,所以.故就是二面角的平面角,即. 由,作,且. 连接,因为是的中点,所以,从而四边形是平行四边形,.连接,因为平面,所以是在平面内的射影,故就是直线与平面所成的角,即. 又平面,有,知为锐角,故为异面直线与所成的角,即, 于是在,中,分别可得,从而,即. 第19题解答图2方法二:如图2,由,作,且.连接,由()可知交线即为直线.以点为原点,向量所在直线分别为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设,则有,. 于是,所以,从而. 又取平面的一个法向量为,可得,设平面的一个法向量为,所以由 可得 取.于是,从而. 故,即. 4. (2013重庆高考理科19)如图,四棱锥中,底面,为的中点,()求的长;()求二面角的正弦值【解题指南】建立空间直角坐标系,写出相应点的坐标根据可求出的长,再通过求平面的法向量可以求出二面角的正弦值.
4、【解析】()如图,连接交于,因为,即为等腰三角形,又平分,故,以为坐标原点,的方向分别为轴,轴,轴的正方向,建立空间直角坐标系,则而,得.又故因底面,可设,由为边中点, 又.因故即(舍去),所以()由()知设平面的法向量为平面的法向量为由得因此可取.由得因此可取从而法向量夹角的余弦值为故二面角的正弦值为5. (2013新课标高考理科18)如图,三棱柱中,.()证明;()若平面ABC平面AA1B1B,AB=CB,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.【解题指南】()取AB的中点,利用线面垂直证明线线垂直.()利用面面垂直确定线面垂直,找出直线A1C与平面BB1C1C所成的角,或建立空间直角坐标系求解.【解析】()取的中点,连结,.因为,所以.由于,故为等边三角形,所以.因为,所以面.又平面,故.()由()知,又平面平面,交线为,所以平面,故,两两互相垂直.以为坐标原点,的方向为轴的正方向,为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系则有,,.则, , .设平面的法向量为,则有,即,可取.故所以直线与平面所成角的正弦值为.6.(2013大纲版全国卷高考理科19)如图,四棱锥都是等边三角
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