高考试题)新人教a 版51
16页1、镇成立由镇委书记孙广东任组长,镇委副书记、镇长任副组长,镇直相关部门主要领导为成员的意识形态工作领导小组,统筹协调全镇意识形态工作考点37 立体几何中的向量方法一、填空题1. (2014新课标全国卷高考理科数学T11)直三棱柱ABC-A1B1C1中,BCA=90,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成的角的余弦值为 ()A. B. C. D. 【解题提示】建立坐标系,利用空间向量法求解.【解析】选C.如图,分别以C1B1,C1A1,C1C为x,y,z轴,建立坐标系.令AC=BC=C1C=2,则A(0,2,2),B(2,0,2),M(1,1,0),N(0,1,0).所以=(-1,1,-2), =(0,-1,-2).cos=.故选C.二、解答题2. (2014新课标全国卷高考理科数学T18)(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明:PB平面AEC.(2)设二面角D-AE-C为60,AP=1,AD=,求三棱锥E-ACD的体积.【解题提示】(1)取AC的中点,构造中位线,利用线线平行证明
2、线面平行.(2)建立空间直角坐标系,设出CD,利用向量法求得CD的长,然后用体积公式求得三棱锥E-ACD的体积.【解析】(1)设AC的中点为G,连接EG.在三角形PBD中,中位线EGPB,且EG在平面AEC上,所以PB平面AEC.(2)设CD=m,分别以AD,AB,AP为x,y,z轴建立坐标系,则A(0,0,0),D(,0,0),E,C(,m,0).所以=(,0,0), =,=.设平面ADE的法向量为=(x1,y1,z1),则=0, =0,解得一个=(0,1,0).同理设平面ACE的法向量为=(x2,y2,z2),则=0, =0,解得一个=(m,- ,-m).因为cos=|cos|=,解得m=.设F为AD的中点,则PAEF,且PA=,EF面ACD,即为三棱锥E-ACD的高.所以VE-ACD=SACDEF=.所以,三棱锥E-ACD的体积为.3. (2014四川高考理科18)三棱锥及其侧视图、俯视图如图所示设,分别为线段,的中点,为线段上的点,且(1)证明:为线段的中点;(2)求二面角的余弦值.【解题提示】本题主要考查简单空间图形的三视图、空间线面垂直的判断与性质、空间面面夹角的计算等基础
3、知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力.【解析】(1)由三棱锥及其侧视图、俯视图可知,在三棱锥中:平面平面,设为的中点,连接,于是, 所以平面因为,分别为线段,的中点,所以,又,故假设不是线段的中点,则直线与直线是平面内相交直线从而平面,这与矛盾所以为线段的中点(2)解法一:如图,作于,连接,由()知,所以因为,所以为二面角的一个平面角由()知,为边长为2的正三角形,所以=,由俯视图知,平面,因为平面,所以,因此在等腰直角中,,作于,在中,所以,因为在平面内,所以,又因为为的中点,所以为的中点,因此.同理可得,所以在等腰中,.故二面角的余弦值是.解法二:以为坐标原点,、分别为、轴建立空间直角坐标系,则,于是,设平面和平面的法向量分别为和由,设,则由,设,则所以二面角的余弦值.4. (2014天津高考理科17)(本小题满分13分)如图,在四棱锥中,底面,点为棱的中点.(1)证明 ;(2)求直线与平面所成角的正弦值;(3)若为棱上一点,满足,求二面角的余弦值.【解析】方法一:依题意,如图以点为原点建立空间直角坐标系,可得,.由为棱的中点,得.(1)向量,故. 所以,.(2)向量
4、,.设为平面的法向量,则即不妨令,可得为平面的一个法向量.于是有.所以,直线与平面所成角的正弦值为.(3)向量,.由点在棱上,设,.故.由,得,因此,解得.即.设为平面的法向量,则即不妨令,可得为平面的一个法向量.取平面的法向量,则.易知,二面角是锐角,所以其余弦值为.方法二:(1)如图,取中点,连接,.由于分别为的中点, 故,且,又由已知,可得且,故四边形为平行四边形,所以. 因为底面,故,而,从而平面,因为平面,于是,又,所以.(1) 连接,由(1)有平面,得,(2) 而,故.又因为,为的中点,故,可得,所以平面,故平面平面.所以直线在平面内的射影为直线,而,可得为锐角,故为直线与平面所成的角.依题意,有,而为中点,可得,进而.故在直角三角形中,因此. 所以,直线与平面所成角的正弦值为.(3)如图,在中,过点作交于点.因为底面,故底面,从而.又,得平面,因此.在底面内,可得,从而.在平面内,作交于点,于是.由于,故,所以四点共面.由,得平面,故.所以为二面角的平面角.在中,由余弦定理可得,.所以,二面角的斜率值为.5. (2014湖南高考理科19)(本小题满分12分)如图6,四棱柱
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