高考试题）新人教a 版61

1、镇成立由镇委书记孙广东任组长，镇委副书记、镇长任副组长，镇直相关部门主要领导为成员的意识形态工作领导小组，统筹协调全镇意识形态工作考点39 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用一、 选择题1.(2017全国丙卷文科T2)复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【命题意图】本题考查复数的运算.【解析】选C.由题意知:z=-1-2i.二、 填空题2.(2017天津高考文科T12)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若FAC=120,则圆的方程为.【命题意图】综合考查抛物线性质与圆的方程.考查转化的思想和通过坐标法利用向量工具解题的能力.【解析】方法一:设圆心坐标为C(-1,m),则A(0,m),焦点F(1,0),=(-1,0), =(1,-m),cosCAF=-,m=,由于圆C与y轴的正半轴相切,则取m=,所求圆得圆心为(-1, ),半径为1,所求圆的方程为(x+1)2+(y-)2=1.答案:(x+1)2+(y-)2=1方法二:由题意知此抛物线的焦点为(1,0),此抛物线的准线方程为

2、x=-1,图象如图所示.故圆的圆心为(-1,y),其半径为1,因为FAC=120,CAO=90,所以FAO=120-90=30,故y=1tan30=.即该圆的圆心坐标为(-1, ),故此圆的方程为(x+1)2+(y-)2=1.答案:(x+1)2+(y-)2=1二、简答题3.(2017全国乙卷文科T20)设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率.(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AMBM,求直线AB的方程.【命题意图】本题以抛物线为命题载体,考查直线与圆锥曲线位置关系的解题策略.【解析】(1)设A,B,则kAB=1.(2)设M,则C在M处的切线斜率k=kAB=y=x0=1,所以x0=2,则M,又AMBM,kAMkBM=-1,即x1x2+2+20=0,又设AB:y=x+m代入x2=4y,得x2-4x-4m=0,所以x1+x2=4,x1x2=-4m,-4m+8+20=0,所以m=7,所以直线AB的方程为y=x+7.4.(2017全国丙卷理科T20)(12分)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线

3、段AB为直径的圆.(1)证明:坐标原点O在圆M上.(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.【解析】(1)a1当直线lx轴时,将x=2代入y2=2x得y=2,故|AB|=4,圆的半径为2,故原点O在圆M上,b.当直线l不垂直于x轴时,设AB的方程为y=k(x-2),因为抛物线C的方程为y2=2x,联立得,k2x2-(4k2+2)x+4k2=0,设A,B坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=4,则=x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1-2)(x2-2)=(1+k2)x1x2-2k2(x1+x2)+4k2将代入得=4(1+k2)-2(4k2+2)+4k2=0,故OAOB,又因为AB为直径,所以原点O在圆M上.(2)若斜率k不存在时,则圆M不经过P(4,-2),故斜率k存在.因为圆M过点P(4,-2),所以PAPB,即=0.将点P,A,B的坐标代入得(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,即x2x2+y1y2-4(x1+x2)+2(y1+y2)+20=0,由于y1+y2=k(x1-2)+k(x2-2)=k(x1+x2)-4k,利用

4、(1)中的结论及式化简式得k2+k-2=0,解得k=-2或k=1.所以当k=-2时,直线l的方程为y=-2(x-2),x1+x2=,所以点M的横坐标为x0=,将x0=代入直线l的方程y=-2(x-2)得纵坐标y0=-,所以点M,所以|MP|=,所以圆M的方程为=.当k=1时,直线l的方程为y=x-2,x1+x2=6,所以点M的横坐标为x0=3,将x0=3代入直线l的方程得纵坐标y0=1,所以点M(3,1),所以|MP|=,所以圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.所以当k=-2时,直线l的方程为y=-2(x-2),圆M的方程为=;当k=1,直线l的方程为y=x-2,圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.5.(2017全国丙卷文科T20)(12分)在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题:(1)能否出现ACBC的情况?说明理由.(2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.【解析】(1)设A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2是方程x2+mx-2=0的根,所以x1+x2=-m,x1x

5、2=-2,则=(-x1,1)(-x2,1)=x1x2+1=-2+1=-10,所以不会出现ACBC的情况.(2)方法一:过A,B,C三点的圆的圆心必在线段AB的垂直平分线上,设圆心E(x0,y0),则x0=-,由|EA|=|EC|得=+,化简得y0=-,所以圆E的方程为+=+,令x=0得y1=1,y2=-2,所以过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为1-(-2)=3,所以过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.方法二:设过A,B,C三点的圆与y轴的另一个交点为D,由x1x2=-2可知原点O在圆内,由相交弦定理可得|OD|OC|=|OA|OB|=|x1|x2|=2,又|OC|=1,所以|OD|=2,所以过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为|OC|+|OD|=3,为定值.6.(2017山东高考文科T21)(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率为,椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2.(1)求椭圆C的方程.(2)动直线l:y=kx+m(m0)交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M.点N是M关于O的对称点,N的半径为|NO|.设D为AB的中点,

6、DE,DF与N分别相切于点E,F,求EDF的最小值.【命题意图】本题考查椭圆方程的求解,直线与圆的位置关系以及直线与椭圆的综合应用,意在考查考生的运算求解能力和分析问题、解决问题的能力.【解析】(1)由椭圆的离心率为,得a2=2(a2-b2),又当y=1时,x2=a2-,得a2-=2,所以a2=4,b2=2,因此椭圆方程为+=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).联立方程得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-4=0,由0得m20,从而y=t+在3,+)上单调递增,因此t+,等号当且仅当t=3时成立,此时k=0,所以1+3=4,由(*)得-mb0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上,且位于第一象限,过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2.(1)求椭圆E的标准方程.(2)若直线l1,l2的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标.【命题意图】考查椭圆标准方程的求法,直线与椭圆位置关系的解决策略,突出考查考生的运算能力.【解题指南】直线和圆锥曲线的位置关系,一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组,利用根与系数的关系或求

7、根公式进行转化,要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点在曲线上则点的坐标满足曲线方程.【解析】(1)设椭圆的半焦距为c.因为椭圆E的离心率为,两准线之间的距离为8,所以=,=8,解得a=2,c=1,于是b=,因此椭圆E的标准方程是.(2)由(1)知,F1(-1,0),F2(1,0).设P(x0,y0),因为点P为第一象限的点,故x00,y00.当x0=1时,l2与l1相交于F1,与题设不符.当x01时,直线PF1的斜率为,直线PF2的斜率为.因为l1PF1,l2PF2,所以直线l1的斜率为-,直线l2的斜率为-,从而直线l1的方程为:y=-(x+1),直线l2的方程为:y=-(x-1).由,解得x=-x0,y=,所以Q.因为点Q在椭圆上,由对称性,得=y0,即=1或=1.又P在椭圆E上,故.由解得x0=,y0=;无解.因此点P的坐标为.8.(2017北京高考文科T19)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为.(1)求椭圆C的方程.(2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:BDE与BDN的

8、面积之比为45.【命题意图】本题主要考查椭圆的性质,意在培养学生运算能力与分析问题解决问题的能力.【解析】(1)因为焦点在x轴上,所以a=2,e=,所以c=,所以b2=a2-c2=1,所以+y2=1.(2)设D(x0,0),(-2x00,直线AM的方程是y=(x+2),所以DEAM,所以kDE=-,直线DE的方程是y=-(x-x0),直线BN的方程是y=(x-2),直线BN与DE直线联立整理为:(x-x0)=(x-2),即(-4)(x-x0)=(x-2),即(-4)(x-x0)=(x-2),解得xE=,代入求得yE=-=-y0,所以=,又因为=,所以BDE和BDN的面积之比为45.9.(2017全国甲卷理科T20)(12分)设O为坐标原点,动点M在椭圆C: +y2=1上,过点M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足=.(1)求点P的轨迹方程.(2)设点Q在直线x=-3上,且=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.【命题意图】椭圆的几何性质、曲线与方程,向量的坐标运算以及直线方程.意在考查学生的数形结合能力和逻辑推理及运算能力.【解析】(1)设P(x,y),M(x,y),N(x,0),已知=,即(x-x,y)=(0,y),所以所以因为M在椭圆上,所以代入椭圆方程得到x2+y2=2,所以点P的轨迹方程为x2+y2=2.(2)设P(x1,y1),Q(-3,y2),椭圆的左焦点为F(-1,0),=(x1,y1),=(-3-x1,y2-y1),=x1(-3-x1)+y1(y2-y1)=1,即-3x1-+ y1y2-=1,-3x1+ y1y2-(+)=1,即-3x1+y1y2=3,故lOQ:y=-x.所以过点P与直线OQ垂直的直线l为:y-y1=(x-x1),

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