高考试题)新人教a 版33
8页1、镇成立由镇委书记孙广东任组长,镇委副书记、镇长任副组长,镇直相关部门主要领导为成员的意识形态工作领导小组,统筹协调全镇意识形态工作考点33 立体几何中的向量方法一、简答题1.(2017全国乙卷理科T18)如图,在四棱锥PABCD中,ABCD,且BAP=CDP=90.(1)证明:平面PAB平面PAD.(2)若PA=PD=AB=DC,APD=90,求二面角APBC的余弦值.【命题意图】本题主要考查面面垂直的证明,考查如何建立空间直角坐标系,确定相关点的坐标,利用法向量求二面角的余弦值.【解析】(1)因为BAP=CDP=90,所以PAAB,PDCD,又因为ABCD,所以PDAB,又因为PDPA=P,PD,PA平面PAD,所以AB平面PAD,又因为AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD.(2)取AD中点O,BC中点E,连接PO,OE,因为ABCD,所以四边形ABCD为平行四边形,所以OEAB,由(1)知,AB平面PAD,所以OE平面PAD,又因为PO,AD平面PAD,所以OEPO,OEAD,又因为PA=PD,所以POAD,所以PO,OE,AD两两垂直,所以以O为坐标原点,建立如图所示的空间直
2、角坐标系,设PA=2,所以D,B,P,C,所以=,=,=,设n=为平面PBC的法向量,由得令y=1,则z=,x=0,可得平面PBC的一个法向量n=,因为APD=90,所以PDPA,又因为PDAB,PAAB=A,所以PD平面PAB,即是平面PAB的一个法向量,= ,所以cos=-,由图知二面角APBC为钝二面角,所以它的余弦值为-.【反思总结】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面:求异面直线所成的角,关键是转化为两直线的方向向量的夹角;求直线与平面所成的角,关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角;求二面角,关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.2.(2017天津高考理科T17)如图,在三棱锥P-ABC中,PA底面ABC,BAC=90.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.(1)求证:MN平面BDE.(2)求二面角C-EM-N的正弦值.(3)已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为,求线段AH的长.【命题意图】本题主要考查直线与平面平行、二面角、异面直
3、线所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.【解析】如图,以A为原点,分别以,方向为x轴,y轴,z轴正方向,建立空间直角坐标系.由题意可得各点坐标:A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0).(1)=(0,2,0),=(2,0,-2).设n=(x,y,z)为平面BDE的法向量,则即不妨设z=1,可得n=(1,0,1).又=(1,2,-1),可得n=0.因为MN平面BDE,所以MN/平面BDE.(2)易知,n1=(1,0,0)为平面CEM的一个法向量,设n2=(x,y,z)为平面EMN的一个法向量.则n2=0,n2=0,又=(0,-2,-1), =(1,2,-1),所以令y=1,则n2=(-4,1,-2),所以,cos=-,sin=,所以二面角C-EM-N的正弦值为.(3)由题意,设AH=h(0h4),则H(0,0,h),进而=(-1,-2,h),=(-2,2,2),由已知得,|cos|=,整理得,10h2-21h+8=0,所以
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