高考试题）新人教a 版17

1、镇成立由镇委书记孙广东任组长，镇委副书记、镇长任副组长，镇直相关部门主要领导为成员的意识形态工作领导小组，统筹协调全镇意识形态工作考点30 空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1.(2017全国丙卷文科T10)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则()A.A1EDC1B.A1EBDC.A1EBC1D.A1EAC【命题意图】本题考查直线间的位置关系,考查学生的空间想象能力和推理能力.【解析】选C.根据三垂线逆定理,平面内的线垂直平面的斜线,那也垂直于斜线所在平面内的射影.A,若A1EDC1,那么D1EDC1,显然不成立.B,若A1EBD,那么BDAE,显然不成立.C,若A1EBC1,那么BC1B1C成立,反过来BC1B1C,也能推出A1EBC1.D,若A1EAC,那么AEAC,显然不成立.2.(2017全国甲卷理科T10)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC=120,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A. B. C. D. 【命题意图】线线的位置关系和余弦定理的知识.通过求角的余弦值考查了学生的线与线的位置关系的判断以

2、及运算求解能力.【解析】选C.补成四棱柱ABCD -A1B1C1D1,如图所示,连接BD,DC1,则所求角为BC1D,因为BC1=,BD=,C1D=AB1=,因此,cosBC1D=.【误区警示】本题易对两异面直线AB1与BC1所成角找不准导致计算错误.3.(2017全国乙卷文科T6)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是()【命题意图】本题主要考查线面平行的判定定理以及空间想象能力,属容易题.【解析】选A.由B,ABMQ,则直线AB平面MNQ;由C,ABMQ,则直线AB平面MNQ;由D,ABNQ,则直线AB平面MNQ.A不满足,故选A.【反思总结】证明线面平行的常用方法:利用线面平行的判定定理,使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线,可利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.利用面面平行的性质,即两平面平行,在其中一平面内的直线平行于另一平面.4.(2017浙江高考T9)如图,已知正四面体D-ABC(所有棱长均相等的三

3、棱锥),P,Q,R分别为AB,BC,CA上的点,AP=PB,=2,分别记二面角D-PR-Q,D-PQ-R,D-QR-P的平面角为,则()A.B.C.D.OGOF,tantantan,又显然,为锐角,所以.二、填空题5.(2017全国丙卷理科T16)a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:当直线AB与a成60角时,AB与b成30角;当直线AB与a成60角时,AB与b成60角;直线AB与a所成角的最小值为45;直线AB与a所成角的最大值为60;其中正确的是.(填写所有正确结论的编号)【命题意图】本题考查学生空间想象能力.【解析】由题意得,ACBC,不妨假设等腰直角三角形ABC的腰长为1,以C为坐标原点,过点C且垂直于平面ABC的直线为x轴,CB所在直线为y轴,CA所在直线为z轴,建立空间直角坐标系如图:则各点坐标分别为A(0,0,1)，C(0,0,0),因为直线a,b都垂直于AC,不妨设直线a的方向向量为a=(1,0,0),直线b的方向向量为b=(0,1,0),因为斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,

4、所以可设点B的坐标为(cos,sin,0),则=(cos,sin,-1),设直线a与直线AB的夹角为,直线b与直线AB的夹角为,则cos=|cos|=,cos=|cos|= =. ,当直线AB与a成60角时,有cos=,解得|cos|=,所以|sin|=,此时AB与b的夹角的余弦值为cos=,所以AB与b的夹角为60.故错误. 由分析得AB与b的夹角为60,故正确. 直线AB与a所成角的余弦值为cos=,当cos越大时,角就越小,而的最大值为=,即cos的最大值为,的最小值为45,即直线AB与a所成角的最小值为45,故正确. ,直线AB与a所成角的余弦值为cos=,当cos越小时,角就越大,而的最小值为0,cos的最小值为0,的最大值为90,即直线AB与所成角的最大值为90,故错误.故本题正确答案为.答案:三、简答题6.(2017全国丙卷文科T19)(12分)如图,四面体ABCD中,ABC是正三角形,AD=CD.(1)证明:ACBD.(2)已知ACD是直角三角形,AB=BD.若E为棱BD上与D不重合的点,且AEEC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.【解析】(1)取AC的中点O

5、,连接OD,OB因为AD=CD,O为AC中点,所以ACOD,又因为ABC是正三角形,所以ACOB,又因为OBOD=O,所以AC平面OBD,因为BD平面OBD,所以ACBD.(2)设AD=CD=2,因为ACD为直角三角形,所以AC=2,又因为ABC为正三角形,所以AB=AC=2,因为AB=BD,所以BD=2,所以ABDDBC,所以AE=CE,又因为AEEC,所以AE=CE=2,在ABD中,设DE=x,根据余弦定理可得:cosADB=即:=,解得x=,所以点E为BD的中点,即VD-ACE=VB-ACE,所以四面体ABCE和四面体ACDE体积的比为11.7.(2017全国丙卷理科T19)(12分)如图,四面体ABCD中,ABC是正三角形,ACD是直角三角形,ABD=CBD,AB=BD.(1)证明:平面ACD平面ABC.(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D-AE-C的余弦值.【解析】(1)取AC中点O,连接OD,OB.由ABD=CBD,AB=BC=BD知ABDCBD,所以CD=AD.由已知可得ADC为等腰直角三角形,D为直角顶点,则ODA

6、C,设正ABC边长为a,则OD=AC=a,OB=a,BD=a,所以OD2+OB2=BD2,即ODOB.又OBAC=O,所以OD平面ABC,又OD平面ACD,所以平面ACD平面ABC.(2)以OA,OB,OD所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,由(1)得当E为BD中点时,平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,故可得A,D,C,E,则=,=.设平面ADE的一个法向量为n1=,则即令z1=1,则x1=1,y1=,所以n1=.同理可得平面AEC的一个法向量n2=,所以cos=.因为二面角D-AE-C的平面角为锐角,所以二面角D-AE-C的余弦值为.8.(2017全国甲卷理科T19)(12分)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,BAD=ABC=90,E是PD的中点.(1)证明:直线CE平面PAB.(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45,求二面角M -AB-D的余弦值.【命题意图】线面平行的判定定理、空间直角坐标系的建立以及二面角的求法,意在考查学生的逻辑推理能力和数形结合思想、转化思想和运算能力.【

7、解析】(1)取PA的中点F,连接EF,BF.因为E,F分别为PD,PA的中点,所以EF=AD,又由题意可得BC=AD,所以EF=BC,所以四边形BCEF为平行四边形,CEBF,又因为BF平面PAB,CE平面PAB,所以CE平面PAB.(2)取AD中点O,连接PO,由于PAD为正三角形,所以POAD,又因为平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以PO平面ABCD,连接OC,则四边形ABCO为正方形.因为PO平面POC,所以平面POC平面ABCD,而平面POC平面ABCD=OC,过M作MHOC,垂足为H,所以MH平面ABCD,所以MBH为MB与平面ABCD所成角,所以MBH=45,连接BH,则MH=BH,在PCO中,MHPO,所以=,设AB=BC=a,AD=2a,PO=a,CO=a,所以=,所以MH=CH,在RtBCH中,BH2=BC2+CH2,所以3CH2=a2+CH2,所以CH=a,MH=a,OH=a-a,以O为坐标原点,OC,OD,OP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,M,A(0,-a,0),B(a,-a,0),=,=(a,0,0).设平面MAB的法向量为n=(

8、x,y,1),则即所以所以n=,而平面ABCD的一个法向量为k=(0,0,1).设二面角M -AB-D的平面角为(为锐角),所以cos=|cos|=.9.(2017江苏高考T15)如图,在三棱锥ABCD中,ABAD,BCBD,平面ABD平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EFAD.求证:(1)EF平面ABC.(2)ADAC.【命题意图】本题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系,考查空间想象能力和推理论证能力.【证明】(1)在平面ABD内,因为ABAD,EFAD,所以EFAB.又因为EF平面ABC,AB平面ABC,所以EF平面ABC.(2)因为平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCD=BD,BC平面BCD,BCBD,所以BC平面ABD.因为AD平面ABD,所以BCAD.又ABAD,BCAB=B,AB平面ABC,BC平面ABC,所以AD平面ABC,又因为AC平面ABC,所以ADAC.10.(2017浙江高考T19)如图,已知四棱锥P-ABCD,PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BCAD,CDAD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.(1)证明:CE平面PAB.(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.【命题意图】本题主要考查空间点、线、面的位置关系,直线与平面所成的角等基础知识,意在考查学生空间想象能力和运算求解能力.【解析】(1)如图,设PA中点为F,连接EF,FB.因为E,F分别为PD,PA的中点,所以EFAD且EF=AD,又因

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