运筹学基础及应用第3章-运输问题(胡运权)

1、运筹学基础及应用,Operations Research,第三章,目,录,CONTENTS,例3.1 某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1, B2, B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用最小？,1.运输规划问题的典例和数学模型,解：产销平衡问题：总产量 = 总销量500 设 xij 为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列运输量表：,Min C = 6x11+ 4x12+ 6x13+ 6x21+ 5x22+ 5x23 s.t. x11+ x12 + x13 = 200 x21 + x22+ x23 = 300 x11 + x21 = 150 x12 + x22 = 150 x13 + x23 = 200 xij 0 ( i = 1、2；j = 1、2、3）,1.运输规划问题的典例和数学模型,运输问题的一般形式：产销平衡,A1、 A2、 Am 表示某物资的m个产地； B1、B2、Bn 表示某物质的n个销地；ai 表示产地Ai的产量； bj 表示销地Bj 的销量； cij 表示把物资从产地Ai运往销地Bj的单

2、位运价。设 xij 为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列一般运输量问题的模型：,1.运输规划问题的典例和数学模型,产地Ai（i=1,.,n）分配到销地Bj（j=1,.,n）物资的和=产地Ai的产量ai,销地Bj（j=1,.,n）接收到产地Ai（i=1,.,n）分配的物资和=销地Bj的产量bj,已知资料如下：,产销平衡,销 量,运价,1.运输规划问题的典例和数学模型,当产销平衡时，其模型如下：,1.运输规划问题的典例和数学模型,产地Ai（i=1,.,n）分配到销地Bj（j=1,.,n）物资的和=产地Ai的产量ai,销地Bj（j=1,.,n）接收到产地Ai（i=1,.,n）分配的物资和=销地Bj的产量bj,产量=销量,当产大于销时，其模型如下：,1.运输规划问题的典例和数学模型,产地Ai（i=1,.,n）分配到销地Bj（j=1,.,n）物资的和产地Ai的产量ai,销地Bj（j=1,.,n）接收到产地Ai（i=1,.,n）分配的物资和=销地Bj的产量bj,产量销量,当产小于销时，其模型如下：,1.运输规划问题的典例和数学模型,产地Ai（i=1,.,n）分配到销地Bj（j=1,.,n）物

3、资的和=产地Ai的产量ai,销地Bj（j=1,.,n）接收到产地Ai（i=1,.,n）分配的物资和销地Bj的产量bj,产量销量,特征： 1、平衡运输问题必有可行解，也必有最优解； 2、运输问题的基本可行解中应包括 m+n1 个基变量。,1.运输规划问题的典例和数学模型,1.运输规划问题的典例和数学模型,运输问题的求解思路,1.运输规划问题的典例和数学模型,2.表上作业法,计算步骤：,(1) 找出初始调运方案。即在(mn)产销平衡表上给出m+n-1个数字格。(最小元素法、西北角法或伏格尔法）,(2) 求检验数。（闭回路法或位势法） 判别是否达到最优解。如已是最优解，则停止计算，否则转到下一步。,(3) 对方案进行改善，找出新的调运方案。（表上闭回路法调整）,确定m+n-1个基变量,(4) 重复（2）、（3），直到求得最优调运方案。,空格,表上作业法是一种求解运输问题的特殊方法，其实质是单纯形法。,2.表上作业法,例3.2 某运输资料如下表所示：,问：应如何调运可使总运输费用最小？,1、求初始方案：最小元素法、西北角法、伏格尔法,2.表上作业法,基本思想是就近供应，即从运价最小的地方开始供

4、应（调运），然后次小，直到最后供完为止。,3,11,3,10,1,9,2,7,4,10,5,8,总的运输费(31)+(64) +(43) +(12)+(310)+(35)=86元,方法1：最小元素法,3,4,1,6,3,3,2.表上作业法,练习1,12,13,13,19,1,2,2.表上作业法,此法是纯粹的人为的规定，没有理论依据和实际背景，但它易操作，特别适合在计算机上编程计算，因而受欢迎。方法如下：,2.表上作业法,方法二：西北角法（或左上角法）,在满足约束条件下尽可能的给最左上角的变量最大值.,8,8,6,4,8,14,所以，初始基可行解为：(8,8,6,4,8,14)目标函数值Z372,例3.3 某运输资料如下表所示：,2.表上作业法,练习2,8,13,13,14,6,6,2.表上作业法,最小元素法的缺点是：为了节省一处的费用，有时造成在其他处要多花几倍的运费。伏格尔法考虑到，一产地的产品假如不能按最小运费就近供应，就考虑次小运费，这就有一个差额。差额越大，说明不能按最小运费调运时，运费增加越多。因而对差额最大处，就应当采用最小运费调运。例如下面两种运输方案。,最小元素法：,总

5、运费是z=108 +52+151=105,另一种方法：,总运费z=105 +152+51=85,2.表上作业法,1）从运价表中分别计算出各行和各列的最小运费和次最小运费的差额，并填入该表的最右列和最下行。,3,11,3,10,1,9,2,7,4,10,5,8,10-3=7,2-1=1,5-4=1,3-1=2,9-4=5,3-2=1,8-5=3,2.表上作业法,方法三：Vogel法,2）再从差值最大的行或列中找出最小运价确定供需关系和供需数量。当产地或销地中有一方数量供应完毕或得到满足时，划去运价表中对应的行或列。 重复1)和2)，直到找出初始解为至。,3,11,3,10,1,9,2,7,4,10,5,8,5,2.表上作业法,7,1,3,5,2,7,5,3,2.表上作业法,1,1,3,5,1,5,3,6,3,1,2,该方案的总运费: (13)(46)(35)(210)(18)(35)85元,2.表上作业法,14,例3.4 某运输资料如下表所示：,2.表上作业法,14,8,例3.4 某运输资料如下表所示：,2.表上作业法,14,8,8,例3.4 某运输资料如下表所示：,2.表上作业法,14

6、,8,8,例3.4 某运输资料如下表所示：,12,2.表上作业法,14,8,8,例3.4 某运输资料如下表所示：,12,2,4,2.表上作业法,练习3,1,2,13,12,13,19,2.表上作业法,2、 最优解的判别（检验数的求法）,求检验数的方法有两种： 闭回路法 对偶变量法（位势法）,（1）闭合回路法： ij0 （因为目标函数要求最小化） 表格中有调运量的地方为基变量，空格处为非基变量。,ij 0 表示运费增加。,2.表上作业法,闭回路：从空格出发顺时针(或逆时针)画水平(或垂直)直线，遇到填有运量的方格可转90，然后继续前进，直到到达出发的空格所形成的闭合回路。,调运方案的任意空格存在唯一闭回路。,注：1.每一空格有且仅有一条闭回路； 2.如果某数字格有闭回路，则此解不是可行解。,若令 则,运费的增量,分析：,2.表上作业法,以最小元素法的初始解为例。假设产地A1供应1个单位的物品给销地B1。则解的变化和目标函数的变化如何。,2.表上作业法,要保证产销平衡，则,称为闭回路,1,2.表上作业法,1,2,2.表上作业法,1,2,1,2.表上作业法,10,2,1,1,2.表上作业法,

7、1,2,1,12,10,2.表上作业法,1,2,1,-1,12,10,检验数中有负数，说明原方案不是最优解。,2.表上作业法,练习4,5,5,7,9,-3,-11,2.表上作业法,ui,vj,m个,n个,（2）对偶变量法（位势法）,设其对偶变量为：,2.表上作业法,uivj无约束 （i=1,2, ,m;j=1,2, ,n),标准型运输问题的对偶问题模型为：,则运输问题变量xij的检验数为：,2.表上作业法,用位势法对初始方案进行最优性检验的方法：,3）由i j=Ci j -（ui+vj），求出非基变量的检验数。,2.表上作业法,1）在给定初始解的表上增加一行和一列，在列中填入ui，在行中填入vj。,2）令u10，再按cij-(ui+vj)=0（基变量的cij求出其余的ui与vj。,3,11,3,10,1,9,2,7,4,10,5,8,u1,u2,u3,v3,v4,v1,v2,注意：基变量的检验数i j=Ci j -（ui+vj）=0,4,3,6,3,1,3,2.表上作业法,3,10,1,2,4,0,-1,-5,3,10,2,9,令u1=0,u1+v3=3,u1+ v4 =10,u2+

8、v3=2,u2+v1=1,u3+v2=4,u3+ v4=5,4,3,6,3,1,3,2.表上作业法,5,2,4,3,6,3,1,3,（1）,（2）,（1）,（-1）,（10）,（12）,当存在非基变量的检验数ij 0，说明现行方案为最优方案，否则目标成本还可以进一步减小。,注意：非基变量的检验数i j=ci j -（ui+vj）,11=c11 -（u1+v1）=3-(0+2)=1,31=c31 -（u3+v1）=7-(2-5)=10,24=c24 -（u2+v4）=8-(10-1)=-1,22=c22 -（u2+v2）=9-(9-1)=1,12=c12 -（u1+v2）=11-(0+9)=2,33=c33 -（u3+v3）=10-(3-5)=12,3,11,3,10,1,9,2,7,4,10,5,8,3、 解的改进 闭合回路调整法（原理同单纯形法一样）,当在表中空格处出现负检验数时，表明未得最优解。若有两个或两个以上的负检验数时，一般选用其中最小的负检验数，以它对应的空格为调入格，即以它对应的非基变量为换入变量。做一闭合回路。,( 1 ) 确定换入基的变量：当存在非基变量的检验数kl

9、0 且kl =minij时，以Xkl为换入变量，找出它在运输表中的闭合回路。,接上例：,解的改进的具体步骤：,2.表上作业法,2,4,3,6,3,1,3,3,11,3,10,1,9,2,7,4,10,5,8,（1）,（2）,（1）,（-1）,（10）,（12）,( 2 ) 顶点编号：以空格(Ak,Bl)(或进基变量xik）为第一个奇数顶点，沿闭回路的顺（或逆）时针方向前进，对闭回路上的顶点依次编号。,1,3,2,4,2.表上作业法,2,4,3,6,3,1,3,3,11,3,10,1,9,2,7,4,10,5,8,（1）,（2）,（1）,（-1）,（10）,（12）,( 2 ) 顶点编号：以空格(Ak,Bl)(或进基变量xik）为第一个奇数顶点，沿闭回路的顺（或逆）时针方向前进，对闭回路上的顶点依次编号。,1,3,2,4,换出变量X23,( 3 ) 确定换出基的变量：在该闭回路上，从所有偶数号格点的调运量中选出最小值 的顶点（格子），以该格子中的变量为换出变量。,( 4 ) 确定新的运输方案：以换出变量的运输量为调整量 ，将该闭回路上所有奇数号格的调运量加上调整量 ，所有偶数号格的调运量减去 ，其余的不变，这样就得到一个新的调运方案。该运输方案的总运费比原运输方案减少，改变量等于换出变量的检验数。,( 5 )然后，再对得到的新解进行最优性检验，如不是最优解，就重复以上步骤继续进行调整，一直到得出最优解为止。,2.表上作业法,2,3,6,3,1,(1),(1),(1),(1),3,11,3,10,1,9,2,7,4,10,5,8,4,3,2.表上作业法,3,10,3,9,vj,-5,A3,-2,A2,0,A1,ui,B4,B3,B2,B1,5,3,6,3,1,2,3,11,3,10,1,9,2,7,4,10,5,8,重新求所

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