生物统计学:相关与回归分析
76页1、相关与回归分析,第一节 变量间的相关关系 第二节 一元线性回归 第三节 多元线性回归 第四节 可化为线性回归的曲线回归,第一节 变量间的相关关系,一. 变量相关的概念 二. 相关系数及其计算,变量间的关系(函数关系),是一一对应的确定关系 设有两个变量 x 和 y ,变量 y 随变量 x 一起变化,并完全依赖于 x ,当变量 x 取某个数值时, y 依确定的关系取相应的值,则称 y 是 x 的函数,记为 y = f (x),其中 x 称为自变量,y 称为因变量 各观测点落在一条线上,变量间的关系(函数关系), 函数关系的例子 某种商品的销售额(y)与销售量(x)之间的关系可表示为 y = p x (p 为单价) 圆的面积(S)与半径之间的关系可表示为S = R2 企业的原材料消耗额(y)与产量(x1) 、单位产量消耗(x2) 、原材料价格(x3)之间的关系可表示为y = x1 x2 x3,变量间的关系(相关关系),变量间关系不能用函数关系精确表达 一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定 当变量 x 取某个值时,变量 y 的取值可能有几个 各观测点分布在直线周围,变量间的关系(相关关系)
2、, 相关关系的例子 商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系 商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系 粮食亩产量(y)与施肥量(x1) 、降雨量(x2) 、温度(x3)之间的关系 收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系 父亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系,相关关系的类型,相关关系的图示,相关关系的测度(相关系数),对变量之间关系密切程度的度量 对两个变量之间线性相关程度的度量称为简单相关系数 若相关系数是根据总体全部数据计算的,称为总体相关系数,记为 若是根据样本数据计算的,则称为样本相关系数,记为 r,相关关系的测度(相关系数), 样本相关系数的计算公式,或化简为,相关关系的测度 (相关系数取值及其意义),r 的取值范围是 -1,1 |r|=1,为完全相关 r =1,为完全正相关 r =-1,为完全负正相关 r = 0,不存在线性相关关系相关 -1r0,为负相关 0r1,为正相关 |r|越趋于1表示关系越密切;|r|越趋于0表示关系越不密切,相关关系的测度 (相关系数取值及其意义),r,相关关系的测度 (相关系数计算例),【例10.1】在研究我国人均消费水平的问题
3、中,把全国人均消费额记为y,把人均国民收入记为x。我们收集到19811993年的样本数据(xi ,yi),i =1,2,,13,数据见表10-1,计算相关系数。,相关关系的测度(计算结果),解:根据样本相关系数的计算公式有 人均国民收入与人均消费金额之间的相关系 数为 0.9987,相关系数的显著性检验(概念要点),检验两个变量之间是否存在线性相关关系 等价于对回归系数 b1的检验 采用 t 检验 检验的步骤为 提出假设:H0: ;H1: 0,计算检验的统计量:,确定显著性水平,并作出决策 若tt,拒绝H0 若tt,接受H0,相关系数的显著性检验(实例), 对前例计算的相关系数进行显著性检(0.05) 提出假设:H0: ;H1: 0 计算检验的统计量,3. 根据显著性水平0.05,查t分布表得t(n-2)=2.201 由于t=64.9809t(13-2)=2.201,拒绝H0,人均消费金额与人均国民收入之间的相关关系显著,相关系数的显著性检验 (相关系数检验表的使用),若IrI大于表上的=5%相应的值,小于表上1%相应的值,称变量x与y之间有显著的线性关系 若IrI大于表上=1%相应的
4、值,称变量x与y之间有十分显著的线性关系 若IrI小于表上=5%相应的值,称变量x与y之间没有明显的线性关系 根据前例的r0.9987=5%(n-2)=0.553,表明人均消费金额与人均国民收入之间有十分显著的线性相关关系,第二节 一元线性回归,一. 一元线性回归模型 参数的最小二乘估计 回归方程的显著性检验 预测及应用,什么是回归分析?(内容),从一组样本数据出发,确定变量之间的数学关系式 对这些关系式的可信程度进行各种统计检验,并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著,哪些不显著 利用所求的关系式,根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取值,并给出这种预测或控制的精确程度,回归方程一词是怎么来的,回归分析与相关分析的区别,相关分析中,变量 x 变量 y 处于平等的地位;回归分析中,变量 y 称为因变量,处在被解释的地位,x 称为自变量,用于预测因变量的变化 相关分析中所涉及的变量 x 和 y 都是随机变量;回归分析中,因变量 y 是随机变量,自变量 x 可以是随机变量,也可以是非随机的确定变量 相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度;回归分析不
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