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2013年上海中学自主招生数学试题

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2013 年上中自主招生试卷 2013 年上中自主招生试卷一、填空题一、填空题 1. 计算 111 122320122013 _。 2. 设, ,x y z为整数且满足 20122013 1xyyz，则代数式 333 xyyzzx的值为_。 3. 若有理数, a b满足 21 3 3 4 ab，则ab_。 4. 如图，ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，线段 DEAB，且BDE的面积是ABC面积的三分之一，那么，线段 BD 长为_。 5. 二次函数 2 yaxbxc的图像与 x 轴有两个交点 M、N，顶点为 R，若MNR恰好是等边三角形，则 2 4bac_。 D C BA E 6. 如图为 25 个小正方形组成的 5 5 棋盘，其中含有符号“#”的各种正方形共有_个。 7. 平面上有n个点，其中任意三点都是直角三角形的顶点，则n的最大值为_。 8. 若方程 22 14xxk有四个非零实根，且它们在数轴上对应的四个点等距排列，则实数k _。 9. 一个老人有n匹马，他把马全部分给两个儿子，大儿子得x匹，小儿子得y匹，1xy，并且满足x是1n的约数，y也是1n的约数，则正整数n共有_种可能的取值? # 10. 已知0a ，且不等式12ax恰有三个正数解，则当不等式23ax含有最多的整数解时，正数a的取值范围为_。二、解答题二、解答题 11. 设方程 2 10xx 的两个根为, a b，求满足 ,11f ab f ba f的二次函数 f x。 12. 已知1231 / 2nn n，这里n为任意正整数，请你利用恒等式 3 32 1231nnnn，推导出 2222 123n的计算公式。 13. 解方程组 2 2 2 2 2 2 1 2 3 xyz yzx zxy 14. 已知ABC， CA=5， AB=6， BC=7，A B C中，AA，BB，但 ABC 的大小和位置不定，当A到 BC 的距离为 3，B到 AC 的距离为 1（如图），问：C到 AB 的距离是否定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由。 A B C CB A

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