各地2018年中考数学试卷精选汇编 开放性问题（pdf，含解析）

1、 开放性问题开放性问题 一、选择题一、选择题 1 1 （2018浙江舟山3 分）某届世界杯的小组比赛规则：四个球队进行单循环比赛（每两队赛一场） ， 胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分，某小组比赛结束后，甲、乙，丙、丁四队分别获得第一， 二，三，四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，则与乙打平的球队是（ ） A.甲 B.甲与丁 C.丙 D.丙与丁 【考点】推理与论证 【分析】需要推理出甲、乙、丙、丁四人的分数：每个人都要比赛 3 场，要是 3 场全胜得最高 9 分，根据 已知“甲、乙，丙、丁四队分别获得第一，二，三，四名”和“各队的总得分恰好是四个连续奇数”，可 推理出四人的分数各是多少，再根据胜、平、负一场的分数去讨论打平的场数。 【解答】解：小组赛一共需要比赛场， 由分析可知甲是最高分，且可能是 9 或 7 分， 当甲是 9 分时，乙、丙、丁分别是 7 分、5 分、3 分， 因为比赛一场最高得分 3 分， 所以 4 个队的总分最多是 63=18 分， 而 9+7+5+318，故不符合； 当甲是 7 分时，乙、丙、丁分别是 5 分、3 分、1 分，7+5+3+118

2、，符合题意， 因为每人要参加 3 场比赛， 所以甲是 2 胜一平，乙是 1 胜 2 平，丁是 1 平 2 负， 则甲胜丁 1 次，胜丙 1 次，与乙打平 1 次， 因为丙是 3 分，所以丙只能是 1 胜 2 负， 乙另外一次打平是与丁， 则与乙打平的是甲、丁 故答案是 B。 【点评】要注重分类讨论. 二二. .解答题解答题 (要求同上一) 1 （20182018湖南省衡阳湖南省衡阳10 分）如图，已知直线 y=2x+4 分别交 x 轴、y 轴于点 A、B，抛物线过 A，B 两点，点 P 是线段 AB 上一动点，过点 P 作 PCx 轴于点 C，交抛物线于点 D （1）若抛物线的解析式为 y=2x 2+2x+4，设其顶点为 M，其对称轴交 AB 于点 N 求点 M、N 的坐标； 是否存在点 P，使四边形 MNPD 为菱形？并说明理由； （2）当点 P 的横坐标为 1 时，是否存在这样的抛物线，使得以 B、P、D 为顶点的三角形与AOB 相似？若 存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）如图 1， y=2x 2+2x+4=2（x ） 2+ ， 顶点为

3、M 的坐标为（，） ， 当 x=时，y=2+4=3，则点 N 坐标为（，3） ； 不存在 理由如下： MN=3=， 设 P 点坐标为（m，2m+4） ，则 D（m，2m 2+2m+4） ， PD=2m 2+2m+4（2m+4）=2m2+4m， PDMN， 当 PD=MN 时，四边形 MNPD 为平行四边形，即2m 2+4m= ，解得 m1= （舍去） ，m2=，此时 P 点坐标为（， 1） ， PN=， PNMN， 平行四边形 MNPD 不为菱形， 不存在点 P，使四边形 MNPD 为菱形； （2）存在 如图 2，OB=4，OA=2，则 AB=2， 当 x=1 时，y=2x+4=2，则 P（1，2） ， PB=， 设抛物线的解析式为 y=ax 2+bx+4， 把 A（2，0）代入得 4a+2b+4=0，解得 b=2a2， 抛物线的解析式为 y=ax 22（a+1）x+4， 当 x=1 时，y=ax 22（a+1）x+4=a2a2+4=2a，则 D（1，2a） ， PD=2a2=a， DCOB， DPB=OBA， 当=时，PDBBOA，即=，解得 a=2，此时抛物线解析式为 y=2x 2

4、+2x+4； 当=时，PDBBAO，即=，解得 a=，此时抛物线解析式为 y=x 2+3x+4； 综上所述，满足条件的抛物线的解析式为 y=2x 2+2x+4 或 y= x 2+3x+4 2. （2018株洲市）下图为某区域部分交通线路图，其中直线，直线与直线都垂直， ，垂足 分别为点 A、点 B 和点 C， （高速路右侧边缘） ，上的点 M 位于点 A 的北偏东 30方向上，且 BM千米， 上的点 N 位于点 M 的北偏东方向上，且，MN=千米，点 A 和点 N 是城际线 L 上的两个相邻的站 点. （1）求之间的距离 （2）若城际火车平均时速为 150 千米/小时，求市民小强乘坐城际火车从站点 A 到站点 N 需要多少小时？ （结果用分数表示） 【答案】 （1）2； （2）小时. 【解析】分析： （1）直接利用锐角三角函数关系得出 DM 的长即可得出答案； （2）利用 tan30=，得出 AB 的长，进而利用勾股定理得出 DN 的长，进而得出 AN 的长，即 可得出答案 详解： （1）过点 M 作 MDNC 于点 D， cos =，MN=2千米， cos =， 解得：DM=2（km

5、） ， 答：l2和 l3之间的距离为 2km； （2）点 M 位于点 A 的北偏东 30方向上，且 BM=千米， tan30=， 解得：AB=3（km） ， 可得：AC=3+2=5（km） ， MN=2km，DM=2km， DN=4（km） ， 则 NC=DN+BM=5（km） ， AN=10（km） ， 城际火车平均时速为 150 千米/小时， 市民小强乘坐城际火车从站点 A 到站点 N 需要小时 点睛：此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出 AN 的长是解题关键 3. （2018四川自贡14 分）如图，抛物线 y=ax 2+bx3 过 A（1，0） 、B（3，0） ，直线 AD 交抛物线于 点 D，点 D 的横坐标为2，点 P（m，n）是线段 AD 上的动点 （1）求直线 AD 及抛物线的解析式； （2） 过点 P 的直线垂直于 x 轴， 交抛物线于点 Q， 求线段 PQ 的长度 l 与 m 的关系式， m 为何值时， PQ 最长？ （3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得 P、Q、D、R 为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在，直接写出点 R 的坐标；若不存在，

6、说明理由 【分析】 （1）根据待定系数法，可得抛物线的解析式；根据自变量与函数值的对应关系，可得 D 点坐标， 再根据待定系数法，可得直线的解析式； （2）根据平行于 y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数 的性质，可得答案； （3）根据 PQ 的长是正整数，可得 PQ，根据平行四边形的性质，对边平行且相等，可得 DR 的长，根据点的 坐标表示方法，可得答案 【解答】解： （1）把（1，0） ， （3，0）代入函数解析式，得 ， 解得， 抛物线的解析式为 y=x 2+2x3； 当 x=2 时，y=（2） 2+2（2）3，解得 y=3， 即 D（2，3） 设 AD 的解析式为 y=kx+b，将 A（1，0） ，D（2，3）代入，得 ， 解得， 直线 AD 的解析式为 y=x1； （2）设 P 点坐标为（m，m1） ，Q（m，m 2+2m3） ， l=（m1）（m 2+2m3） 化简，得 l=m 2m+2 配方，得 l=（m+） 2+ ， 当 m=时，l最大=； （3）DRPQ 且 DR=PQ 时，PQDR 是平行四边形， 由（2）得 0PQ， 又

7、 PQ 是正整数， PQ=1，或 PQ=2 当 PQ=1 时，DR=1，3+1=2，即 R（2，2） ， 31=4，即 R（2，4） ； 当 PQ=2 时，DR=2，3+2=1，即 R（2，1） ， 32=5，即 R（2，5） ， 综上所述：R 点的坐标为（2，2） ， （2，4） ， （2，1） （2，5） ，使得 P、Q、D、R 为顶点的 四边形是平行四边形 【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用二次函数的性 质；解（3）的关键是利用 DR=PQ 且是正整数得出 DR 的长 4 （2018浙江舟山8 分） 某厂为了检验甲、乙两车间生产的同一款新产品的合格情况（尺寸范围为 176mm-185mm 的产品为合格） ，随机各轴取了 20 个样品进行测，过程如下：收集数据（单位：mm） ： 甲车间：168，175，180，185，172，189，185，182，185，174，192，180，185，178，173，185，169， 187，176，180。 乙车间：186，180，189，183，176，173，178，167，180，175，

8、178，182，180，179，185，180，184， 182，180，183。 整理数据： 分析数据： 应用数据： （1）计算甲车间样品的合格率。 （2）估计乙车间生产的 1000 个该款新产品中合格产品有多少个？ （3）结合上述数据信息，请判断个车间生产的新产品更好，并说明理由， 【考点】数据分析 【解析】 【分析】 （1）由题意可知，合格的产品的条件为尺寸范围为 176mm-185mm 的产品，所以甲车间合格 的产品数是（5+6） ，再除总个数即可； （2）需要先求出乙车间的产品的合格率；而合格产品数（a+b）的值除了可以样品数据中里数出来，也可 以由 20-（122）得到； （3）分析数据中的表格提供了甲、乙车间的平均数、众数、中位数和方差数据，根据它们的特点结合数据 的大小进行比较及评价即可 【解答】 （1）甲车间样品的合格率为 100=55 （2）乙车间样品的合格产品数为 20-（122）=15（个） ， 乙车间样品的合格率为 100=75。 乙车间的合格产品数为 100075=750（个） （3）从样品合格率看，乙车间合格率比甲车间高，所以乙车间生产的新产品更好。从样品

9、的方差看， 甲、乙平均数相等，且均在合格范围内，而乙的方差小于甲的方差，说明乙比甲稳定，所以乙车间生产的 新产品更好 【点评】本题考查数据分析及应用数据的能力 5. （2018 年四川省内江市）对于三个数 a，b，c，用 Ma，b，c表示这三个数的中位数，用 maxa，b， c表示这三个数中最大数， 例如： M2， 1， 0=1， max2， 1， 0=0， max2， 1， a= 解决问题： （1）填空：Msin45，cos60，tan60= ，如果 max3，53x，2x6=3，则 x 的取值范围为 ； （2）如果 2M2，x+2，x+4=max2，x+2，x+4，求 x 的值； （3）如果 M9，x 2，3x2=max9，x2，3x2，求 x 的值 【考点】AD：一元二次方程的应用；8A：一元一次方程的应用；CE：一元一次不等式组的应用；T5：特殊 角的三角函数值 【分析】（1）根据定义写出 sin45，cos60，tan60的值，确定其中位数；根据 maxa，b，c表示这 三个数中最大数，对于 max3，53x，2x6=3，可得不等式组：则，可得结论； （2）根据新定义和已知分情况讨论：2 最大时，x+42 时，2 是中间的数时，x+22x+4，2 最小 时，x+22，分别解出即可； （3）不妨设 y1=9，y2=x 2，y 3=3x2，画出图象，根据 M9，x 2，3x2=max9，x2，3x2，可知：三个函 数的中间的值与最大值相等，即有两个函数相交时对应的 x 的值符合条件，结合图象可得结论 【解答】解：（1）sin45=，cos60=，tan60=， Msin45，cos60，tan60

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