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2017-2018年高一数学新人教a版必修1备课资料素材:第1章 集合与函数概念 1.3.1 函数概念及性质

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  • 卖家[上传人]:小**
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  • 上传时间:2018-12-09
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    • 1、备课资料知识点总结函数概念及性质1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数,记作:y=f(x),xA.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域.如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:分式的分母不等于零; 偶次方根的被开方数不小于零;对数式的真数必须大于零;如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,那么它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合;实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.求出不等式组的解集即为函数的定义域.2.构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域.构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,

      2、如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数);两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关.相同函数的判断方法:表达式相同;定义域一致(两点必须同时具备).函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域;应熟悉掌握一次函数、二次函数,它是求解复杂函数值域的基础;求函数值域的常用方法有:直接法、换元法、配方法、判别式法、单调性法等.3.函数图象知识归纳定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) (xA)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数 y=f(x)(x A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上,即记为C= P(x,y) | y= f(x), xA.图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行于y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成.画法:描点法:根据函数解析式和定义域,求出x,y的一些对应值并列表,以(x,y)为

      3、坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y),最后用平滑的曲线将这些点连结起来.图象变换法:常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换.作用:直观地看出函数的性质;利用数形结合的方法分析解题的思路;提高解题的速度;发现解题中的错误.4.区间的概念区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;无穷区间;区间的数轴表示.5.映射一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射,记作“f:AB”.给定一个集合A到B的映射,如果aA,bB,且元素a和元素b对应,那么,我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象.说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,集合A、B及对应法则f是确定的;对应法则有“方向性”,即强调从集合A到集合B的对应,它与从B到A的对应关系一般是不同的;对于映射f:AB来说,则应满足:(1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;(2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;(3)不要求集合B中的每一

      4、个元素在集合A中都有原象.6.函数的表示法函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个图形是否是函数图象的依据;解析法:必须注明函数的定义域;图象法:描点法作图要注意:确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数的特征;列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征.解析法便于算出函数值;列表法便于查出函数值;图象法便于量出函数值.分段函数:在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数,在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式.分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况.分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.复合函数:如果y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),则y=fg(x)=F(x)(xA)称为f、g的复合函数.7.函数的单调性增函数:设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)

      5、在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意:函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;必须是对于区间D内的任意两个自变量x1、x2;当x1x2时,总有f(x1)f(x2) .图象的特点:如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. 函数单调区间与单调性的判定方法:定义法,任取x1、x2D,且x1x2;作差f(x1)-f(x2);变形(通常是因式分解和配方);定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).图象法(从图象上看升降);复合函数的单调性,复合函数fg(x)的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律如下:函数单调性u=g(x)增增减减y=f(u)增减增减y=fg(x)增减减

      6、增注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间合在一起写成其并集.8.函数的奇偶性偶函数:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.奇函数:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么f(x)就叫做奇函数.注意:函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数.由函数的奇偶性定义,可知函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称).具有奇偶性的函数的图象的特征:偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;确定f(-x)与f(x)的关系;作出相应结论:若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x)或f(-x)f(x)=0,则f(x)是奇函数.注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称再根据定义判定:有时判定f(-x)=f(x)比较困难,可考虑根据是否有f(-x)f(x)=0或=1来判定:利用定理,或借助函数的图象判定.9.函数的解析表达式函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.求函数的解析式的主要方法有:待定系数法、换元法、消参法等,如果已知函数解析式的构造时,可用待定系数法;已知复合函数fg(x)的表达式时,可用换元法,这时要注意元的取值范围;当已知表达式较简单时,也可用凑配法;若已知抽象函数表达式,则常用解方程组消参的方法求出f(x).10.函数最大(小)值方法利用二次函数的性质(配方法);利用图象;利用函数单调性;如果函数y=f(x)在区间a,b上单调递增,在区间b,c上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);如果函数y=f(x)在区间a,b上单调递减,在区间b,c上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b).

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