灰色模型

1、一、灰色系统理论的产生与应用 1982年我国学者邓聚龙先生创立了灰色系统理论， 目前许多国家及国际组织的知名学者从事灰色系统的理 论和应用研究工作。 灰色系统理论应用于工业、农业、社会、经济、 能源、交通、地质、石油、气象、水利等众多领域，成 功地解决了大量的实际问题。,第一章：灰色系统的概念与基本原理,二、灰色系统与几种不确定问题方法的比较。 模糊数学着重研究“认知不确定”问题，其研究对象 具有“内涵明确，外延不明确”的特点。主要凭借经验， 借助于隶属函数进行处理。 概率统计研究的是“随机不确定”现象的历史统计 规律，考察具有多种可能发生的结果之“随机不确定” 现象中每一种结果发生的可能性的大小，其出发点是， 大样本，且对象服从某种典型分布。 灰色系统研究的是“部分信息明确，部分信息未知”,的“小样本，贫信息”不确定性系统，它通过对已知“部分” 信息的生成去开发了解、认识现实世界。着重研究“外延 明确，内涵不明确”的对象。,2050年中国人口控制在15亿到16亿之间,树高在20米至30米,第三章 序列算子与灰色序列生成, 灰色系统理论是通过对原始数据的整理来寻求其变化规律的,这是一种

2、就数据寻找数据的现实规律的途径,称之为灰色序列生成 一切灰色序列都可以通过某种生成弱化其随机性,显现规律性. 算子 是处理数据的一种方法。,定义3.1.3 （序列算子的定义） 设X为系统行为数据序列，D为作用于X的算子，X经过算子D的作用后所得序列记为 称D为序列算子，称XD为一阶算子作用序列。序列算子的作用可以进行多次，相应的若 皆为序列算子，则称 为二阶算子， 为三阶算子， 为二阶算子作用序列， 为三阶算子作用序列。,3.1 序列算子,定义 3.2.5 设序列 若 则称 为紧邻均值生成数，由紧邻均值生成数构成的序列 称为紧邻均值生成序列。在GM建模，常用紧邻信息的均值生成， 它是以原始序列为基础构造新序列的方法。 注意：设 为n元序列，Z为X的紧邻均值 生成序列，则Z为 元序列： 无法由X生成z(1).,3.2 均 值 生 成,3.5 累加生成算子和累减生成算子,定义 3.5.1 设 为原始序列 D为序列算子， 其中 则称D为 的一次累加生成算子，记为1-AGO （Accumulating Generation Operator),称r阶算子 为 的r次 累加生成算子，记为r-AG

3、O,习惯上，我们记,其中 定义3.5.2 设 为原始序列，D为序列算子， 其中， 则称D为 的一次累减生成算子，r 阶算子 称为 的r 次累减生成算子。 定理 3.5.1 累减算子是累加算子的逆算子。,一般的抽象系统都包含有许多影响因素，多种因素共同作用的结果决定了系统的发展态势。我们希望从众多的因素中判断出，哪些是主要因素、哪些是次要因素。这些属于系统分析的内容，数理统计中的回归分析、方差分析、主成分分析等都可以用来进行系统分析。这些方法的不足之处是： 1、要求有大量的数据。 2、要求样本服从某一种典型概率分布，各因素数据与系统特征数据之间呈线性关系且个因素之间彼此无关。 3、计算量大， 4、可能出现量化结果与定性分析结果不符的情况。,灰色关联分析方法的基本思想是根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密，曲线越接近，相应序列之间的关联度就越大，反之就越小。 对一个抽象系统或现象进行分析，首先要选准反映系统行为 特征的数据序列。我们称之为找系统行为的映射量，用映射量来间接地表征系统行为。比如： 国民平均受教育的年限 教育的发达程度 刑事案件的发案率 社会治安面貌和社会秩序,4

4、.1 灰色关联因素和关联算子集 定义 4.1.1 设 为系统因素，其在序号k上的观测数据为 则称 为因素 的行为 序列；若k为时间序号， 为因素 在k时刻的观测数 据，则称 为因素 的行 为时间序列；若k为指标序号， 为因素 关于第k个 指标的观测数据，则称 为因素 的行为指标序列。若k为观测对象序号， 为因素关于第k个对象的观测数据，则称 为因素 的行为横向序列,无论是时间序列数据、指标序列数据还是横向序列数据，都可 以用来做关联分析。 定义4.1.2 设 为因素 的 行为序列， 为序列算子，且 其中 则称 为初值化算子， 为原像， 为 在初值化算子 下的像，简称初值像。,定义 4.1.4 设 为因素 的行为序列， 为序列算子，且 其中 则称 为均值化算子， 为 在均值化算子 下的像 ，简称均值像。,定义 4.1.4设 为因素 的 行为序列， 为序列算子，且 其中 则称 为区间化算子， 为区间值像。 命题4.1.1 初值化算子 、均值化算子 和区间值化算子 皆可以使系统行为序列无量纲化，且在数量上规一。一般地， 不宜混合、重叠使用。,定义 4.1.5 设 为 因素 的行为序列， 为序

5、列算子，且 其中 则称 为逆化算子， 为 在逆化算子 下的像 ，简称逆化像。,定义 4.1.6 设 为 因素 的行为序列， 为序列算子，且 其中 则称 为倒数化算子， 为倒数化像。 命题4.1.3 若系统因素 与系统主行为 呈负相关关系，则 的逆化算子作用像 和倒数化作用像 与 具有 正相关关系。,4.3 灰色关联公理与灰色关联度,命题 4.3.1 设系统特征行为序列 为增长序列， 为相关因 素行为序列，则有 1、 当 为增长序列时， 与 为正相关关系； 2、当 为衰减序列时， 与 为负相关关系。 由于负相关序列可以通过4.1节中定义的逆化算子或倒数化算 子作用转化为正相关序列，所以我们主要研究非负的相关关 系。,定义 4.3.3 设 为系统特征序列，且 为相关因素序列，,给定实数 ，若实数 满足 1、规范性 2、整体性 对于 有 3、偶对称性 =,4、接近性 越小， 越大。 则称 为 对 的灰色关联度，以上4条称为 灰色关联四公理。 表明系统中的任何两个行为序列 都不可能时严格无关联的。 整体性则体现了环境对灰色关联比较的影响，环境不同，灰色 关联度亦随之变化。偶对对称性表明，当灰色

6、关联因子集中只 有两个序列时，两两比较满足对称性。 接近性是对关联度量化的约束。,定理 4.3.2 设系统行为序列 对于 令,则称 满足灰色关联四公理，其中 为分 辨系数。灰色关联度的计算步骤： 1、求各序列的初值像（或均值像），令 2、求差序列，记 3、求两极最大差与最小差，记,4、求关联系数 5、计算关联度,应用研究 一级男子百米运动员身体素质与运动成绩的灰色关联度分析 选择100米作为研究项目,依据灰色关联度分析原理,揭示一级水平男子百米运动员的各项身体素质、各类型素质与运动成绩之间的关联度;针对训练实践中对身体素质认识上的模糊,提出相应的训练策略,旨在对提高运动成绩有所裨益。 相关因素：行进间30米 ，230米，460米，5150米，立定跳远，立定三级跳，二级蛙跳，后抛铅球，仰卧起坐，坐蹲起，深蹲，前后劈叉，左右劈叉，站立体前屈，折回跑，象限跳，侧跨步。,应用研究 我国铁路货物运输发展的灰色关联分析 本文用灰色关联分析方法对19892002年我国铁路运输货运量的发展进行系统分析,探讨影响我国铁路运输货运量发展的主要因素以及各因素相对于铁路运输货运量发展的关联程度,以便为有关部门

7、的决策者提供数据资料. 影响我国铁路运输货运量发展的主要因素有:GDP、人口数量、居民消费水平、固定资产总投资及国家财政总收入等.把铁路运输货运量作为母序列X0,其影响因素作为子序列,4.4 广义灰色关联度 一、绝对灰色关联度 命题 4.4.1 设行为序列 记折线 为 令,定义 4.4.1 设行为序列 为序列算子，且 其中 则称D为 始点零化算子， 为 的始点零化像，记为 命题4.4.2 设行为序列 的始点零化像分别为,令 则 1、若 恒在 上方， 2、若 恒在 下方， 3、若 与 相交， 符号不定。 定义 4.4.2 称序列 各个观测数据间时距之和为 的长度。 注意：长度相等的两个序列中的观测数据数量不一定相等。,定义 4.4.3 设序列 与 的长度相等，则称 为 与 的灰色绝对关联度。灰色绝对关联度满足灰色 关联公理中的规范性、偶对对称性与接近性，但不满足整体性。 引理 4.4.2 设序列 与 的长度相同，且皆为1-时距，而 分别为 和 的始点零化像，则,定理 4.4.3 设序列 和 的长度相同，当他们时距不同 或至少有一个为非等时距序列时，若通过均值生成填补相应空 穴使之化成时距

8、相等的等时距序列，则此时灰色绝对关联度不 变。,定理 4.4 .4 灰色绝对关联度 具有下列性质： 1、 2、 只与 和 的几何形状有关，而与其空间相对位置 无关。 3、 任何两个序列都不是绝对无关的，即 恒不为0。 4、 与 几何上的相似程度越大， 越大。 5、 与 的长度变化， 亦变。 6、 当 或 的任一个观测数据变化， 将随之变化。 7、 8、,应用研究 登陆地域选择 登陆作战中登陆地域的选择是决定能否“登得上”的主要因素之一。登陆地域选择的好坏直接影响到登陆成败、战场兵力与武器损耗的多少,以及作战价值的大小等等。因此,必须在认真分析海岸区域的地理条件和敌海岸兵力分布情况的基础上,科学地选择登陆地域。 用灰色关联理论的方法来分析登陆地域选择问题,主要是提出一种新的用以解决登陆地域选择的问题的解法,即灰色关联理论的方法。,二、灰色相对关联度 定义 4.4.5 设序列 长度相同，且初值不等于0， 分别为 的初值像，则称 的灰色 绝对关联度为 与 的灰色相对关联度。记为 灰色相对关联度是序列 与 相对于初始点的变化速率的 联系的数量表征。 与 的变化速率越接近， 越大，反 之越小。 命题 4.4.4 设 为长度相同且初值不等于0的序列，若 ，其中c0为

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