2018-2019学年高一上学期苏教版数学必修1课件:第2章 5(二) 简单的幂函数(二)
39页1、5 简单的幂函数(二),第二章 函 数,学习目标 1.理解函数奇偶性的定义. 2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法. 3.会应用奇、偶函数图像的对称性解决简单问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 函数奇偶性的几何特征,思考 下列函数图像中,关于y轴对称的有哪些?关于原点对称的呢?,答案 关于y轴对称,关于原点对称.,梳理 一般地,图像关于y轴对称的函数叫作 函数,图像关于原点对称的函数叫作 函数.,偶,奇,知识点二 函数奇偶性的定义,思考1 为什么不直接用图像关于y轴(原点)对称来定义函数的奇偶性?,答案 因为很多函数图像我们不知道,即使画出来,细微之处是否对称也难以精确判断.,思考2 利用点对称来刻画图像对称有什么好处?,答案 好处有两点:(1)等价:只要所有点均关于y轴(原点)对称,则图像关于y轴(原点)对称,反之亦然. (2)可操作:要判断点是否关于y轴(原点)对称,只要代入解析式验证即可,不知道函数图像也能操作.,梳理 函数奇偶性的概念 (1)偶函数:如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 ,那么函数f(x)就叫作偶函数.其实质是函数f(x)
2、上任一点(x,f(x)关于y轴的对称点(x,f(x)也在f(x)图像上. (2)奇函数:如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 ,那么函数f(x)就叫作奇函数.其实质是函数f(x)上任一点(x,f(x)关于原点的对称点(x,f(x)也在f(x)图像上. (3)由函数奇偶性定义,对于定义域内任一元素x,其相反数x必须也在定义域内,所以判断函数奇偶性要注意定义域优先原则,即首先要看定义域是否关于原点对称.,f(x)f(x),f(x)f(x),知识点三 奇偶性与单调性,思考 观察偶函数yx2与奇函数y 在(,0)和(0,)上的单调性,你有何猜想?,答案 偶函数yx2在(,0)和(0,)上的单调性相反; 奇函数y 在(,0)和(0,)上的单调性相同.,梳理 (1)若奇函数f(x)在a,b上是增函数,且有最大值M,则f(x)在b,a上是 函数,且有最小值 . (2)若偶函数f(x)在(,0)上是减函数,则f(x)在(0,)上是 . (3)知道了函数的奇偶性,我们可以先研究函数的一半,再利用对称性了解其另一半,从而减少工作量.,增,M,增函数,思考辨析 判断正误 1.关于y轴对称的图形都是
3、偶函数的图像.( ) 2.若f(x)是奇函数,f(1)2,则f(1)2.( ) 3.存在既是奇函数又是偶函数的函数,且不止一个.( ) 4.有些函数既非奇函数,又非偶函数.( ),题型探究,类型一 判断函数的奇偶性,证明,例1 判断并证明下列函数的奇偶性:,证明 因为函数的定义域为x|xR且x1, 对于定义域内的1,其相反数1不在定义域内,,(2)f(x)(x1)(x1);,证明,证明 函数的定义域为R, 因为函数f(x)(x1)(x1)x21, 又f(x)(x)21x21f(x), 所以函数为偶函数.,证明,证明 函数的定义域为1,1, 因为对定义域内的每一个x,都有f(x)0,所以f(x)f(x),,即该函数既是奇函数又是偶函数.,反思与感悟 利用定义法判断函数是否具有奇偶性时,首先应看函数定义域是否关于原点对称,即对于定义域内的任意一个x,则x也一定属于定义域.,跟踪训练1 判断并证明下列函数的奇偶性:,解答,故f(x)为非奇非偶函数.,(2)f(x)x|x|;,解答,解 函数的定义域为R, 因为f(x)(x)|x|x|x|f(x), 所以函数为奇函数.,(3)f(x),g(x)
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