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2017-2018年高一数学新人教a版必修1备课资料素材：第2章基本初等函数 2.2.1 对数与对数运算1

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1、备课资料1.对数的创立对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢？在数学史上，一般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初的苏格兰数学家纳皮尔（Napier，15501617年）男爵.在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科.可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间.纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数.当然，纳皮尔所发明的对数，在形式上与现代数学中的对数理论并不完全一样.在纳皮尔那个时代，“指数”这个概念还尚未形成，因此纳皮尔并不是像现行代数课本中那样，通过指数来引出对数，而是通过研究直线运动得出对数概念的.那么，当时纳皮尔所发明的对数运算是怎么一回事呢？在那个时代，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法.让我们来看看下面这个例子：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、141、2、4、8

2、、16、32、64、128、256、512、1024、2048、4096、8192、16384这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂.如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的加和来实现.比如，计算64256的值，就可以先查询第一行的对应数字：64对应6，256对应8；然后再把第一行中的对应数字加和起来：6814；第一行中的14，对应第二行中的16384，所以有6425616384.纳皮尔的这种计算方法，实际上已经完全是现代数学中“对数运算”的思想了.回忆一下，我们在中学学习“运用对数简化计算”的时候，采用的不正是这种思路吗?计算两个复杂数的乘积，先查常用对数表，找到这两个复杂数的常用对数，再把这两个常用对数值相加，再通过常用对数的反对数表查出加和值的反对数值，就是原先那两个复杂数的乘积了.这种“化乘除为加减”，从而达到简化计算的思路，不正是对数运算的明显特征吗？经过多年的探索，纳皮尔男爵于1614年出版了他的名著奇妙的对数定律说明书，向世人公布了他的这项发明，并且解释了这项发明的特点.所以，纳皮尔是当之无愧的“对数缔造者”，理应在

3、数学史上享有这份殊荣.伟大的导师恩格斯在他的著作自然辩证法中，曾经把笛卡尔的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为十七世纪的三大数学发明.法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯（Pierre Simon Laplace，17491827）曾说：对数，可以缩短计算时间，“在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.2.尤拉的自然对数底公式（大约等于2.71828的自然对数的底e）尤拉被称为数学界的莎士比亚，他是历史上最多产的数学家，也是各领域（包含数学中理论与应用的所有分支及力学、光学、音响学、水利、天文、化学、医药等）最多著作的学者，数学史上称十八世纪为“尤拉时代”.尤拉出生于瑞士，31岁丧失了右眼的视力，59岁双眼失明，但他性格乐观，有惊人的记忆力及集中力，使他在13个小孩子吵闹的环境中仍能精确思考复杂问题.尤拉一生谦逊，从没有用自己的名字给他发现的东西命名.只有那个大约等于2.71828的自然对数的底，被他命名为e.但因他对数学广泛的贡献，因此在许多数学分支中，反而经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理.我们现在习以为常的数学符号很多都是尤拉所发明介绍的，例如：函数符号f（x）、e、logx、sinx、cosx以及虚数i等.高中教师常用一则自然对数的底数e笑话，帮助学生记忆一个很特别的微分公式：在一家精神病院里，有个病患整天对着别人说，“我微分你、我微分你.”也不知为什么，这些病患都有一点简单的微积分概念，总以为有一天自己会像一般多项式函数般，被微分到变成零而消失，因此对他避之不及，然而某天他却遇上了一个不为所动的人，他很意外，而这个人淡淡地对他说，“我是e的x次方.”这个微分公式就是：e不论对x微分几次，结果都还是e！难怪数学系学生会用e比喻坚定不移的爱情.相对于是希腊文字中圆周第一个字母，e的由来较不为人熟知.有人甚至认为：尤拉取自己名字的第一个字母作为自然对数.而尤拉选择e的理由较为人所接受的说法有二：一为在a、b、c、d等四个常被使用的字母后面，第一个尚未被经常使用的字母就是e，所以，他很自然地选了这个符号，代表自然对数的底数；一为e是指数的第一个字母，虽然你或许会怀疑瑞士人尤拉的母语不是英文，可事实上法文、德文的指数也都是它.

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