2017-2018学年高一数学新人教a版必修1课件：第1章 集合与函数概念 1.2.2.1 函数的表示法

1、1.2.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法,主题1 函数的表示法解析法 某种茶杯的单价为10元,购买的个数为x,所花费用为y,则购买茶杯的个数x与所花费用y之间存在的关系能否用一个式子表示? 提示:能,y与x的关系可表示为y=10x,xN.,结论:解析法 用_表示两个变量之间的对应关系的方法.,数学表达式,【微思考】 任何一个函数都可以用解析法表示吗? 提示:不是,如某地区一天中每时刻的温度,由于受自然因素影响较大,无法借助函数解析式具体描述.,主题2 函数的表示法列表法与图象法 1.如图是某省本科一批(理科)分数线变化曲线,根据图象回答下面的问题:,(1)图中的图象能表示两个变量之间存在函数关系吗?如果能,自变量是什么? 提示:能,表示一批分数线是年份的函数,其中年份为自变量.,(2)图中的函数关系能用解析式表示吗? 提示:不能,因为自变量年份与本科一批分数线的对应关系比较复杂.,2.下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表,请根据表格回答下面的问题. (1)表格中两变量存在函数关系吗? 提示:存在,它表示浓度是距离的函数.,(2)自变量的取值集合是什么?函数的值域是什么?

2、提示:自变量的取值集合为50,100,200,300,500.值域为0.678,0.398,0.121,0.05,0.01.,结论: 1.图象法 用_表示两个变量之间的对应关系的方法. 2.列表法 列出_来表示两个变量之间的对应关系的方法.,图象,表格,【微思考】 1.根据函数的图象,是否可以精确求出每一自变量对应的函数值? 提示:不能,只能近似求出函数值且有时误差较大.,2.根据表格能否得出定义域中每一自变量对应的函数值? 提示:不能,列表法仅能表示自变量取有限个值的对应关系.,【预习自测】 1.已知函数f(x)由下表给出,则f(3)等于 ( ),A.1 B.2 C.3 D.不存在 【解析】选C.由表格知f(3)=3.,2.已知f(x)=2x+3,则f(a)= ( ) A.2a+5 B.2a+3 C.2a+1 D.2a-1 【解析】选B.因为f(x)=2x+3,所以f(a)=2a+3.,3.若 ，则f(2)= ( ) A.2 B. C.3 D. 【解析】选D.令t= ，则x= ， 所以f(t)= +1，即f(x)= +1，所以f(2)= +1= .,4.如图,函数f(x)的图象是曲线

3、OAB,其中点O,A,B的 坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),则 的值等于 _.,【解析】因为f(3)=1, =1,所以 =f(1)=2. 答案:2,5.已知反比例函数f(x)满足f(3)=-6,f(x)的解析式为_. 【解析】设反比例函数f(x)= (k0), 则f(3)= =-6,解得k=-18,所以f(x)=- . 答案:f(x)=-,类型一 待定系数法求函数解析式 【典例1】(2017杭州高一检测)若二次函数f(x)= x2+bx+c满足f(2)=f(-2),且方程f(x)=0的一个根为1.求函数f(x)的解析式.,【解题指南】由f(2)=f(-2)及x2+bx+c=0的一根为1建立关于b,c的关系式求解.,【解析】由f(2)=f(-2)得: 22+2b+c=(-2)2-2b+c,即b=0. 因为x2+bx+c=0的一个根为1, 所以b+c+1=0. 由得b=0,c=-1.所以f(x)=x2-1.,【延伸探究】 1.若将条件“f(2)=f(-2)”改为f(0)=2,求f(x)的解析式. 【解析】由f(0)=2,得c=2. 又x2+bx+c=0的一个根为1,故b+c+

4、1=0, 所以b=-3.故f(x)=x2-3x+2.,2.本例条件不变,求f(x+1)的解析式. 【解析】由f(2)=f(-2)及x2+bx+c=0的一个根为1得: 所以f(x)=x2-1,故f(x+1)=(x+1)2-1=x2+2x.,【方法总结】待定系数法的适用条件及步骤 (1)适用条件:函数的类型已知. (2)一般步骤: 设出解析式; 依据条件列出方程(组); 解方程(组)写出解析式.,【补偿训练】1.(2017武汉高一检测)已知f(x)是一 次函数,且f(f(x)=16x-25,求f(x).,【解析】设f(x)=kx+b(k0), 则f(f(x)=k(kx+b)+b=k2x+kb+b, 所以k2x+kb+b=16x-25. 所以f(x)=4x-5或f(x)=-4x+ .,2.已知函数f(x)是二次函数,且f(0)=1,f(x+1)-f(x) =2x,求f(x).,【解析】设f(x)=ax2+bx+c(a0), 因为f(0)=1,所以c=1,又因为f(x+1)-f(x)=2x, 所以a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x, 整理得:2ax+(a+b)=2x,

5、 所以 所以f(x)=x2-x+1.,类型二 换元法(或配凑法)、方程组法求函数解析式 【典例2】(1)已知f( +1)=x+2 ,求f(x)的解析式. (2)(2017济南高一检测)已知f(x)+2f(-x)=x2+2x,求 f(x).,【解题指南】(1)令t= +1,求出x,代入即得. (2)通过建立关于f(x)和f(-x)的方程组求解.,【解析】(1)令t= +1,则x=(t-1)2,t1, 所以f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t1), 所以f(x)=x2-1(x1).,(2)因为f(x)+2f(-x)=x2+2x, 以-x代换x得f(-x)+2f(x)=x2-2x, 所以由得3f(x)=x2-6x, 所以f(x)= x2-2x.,【方法总结】 1.换元法的适用条件及步骤 适用类型:已知f(g(x),求f(x)的解析式. 一般步骤: (1)换元:令t=g(x),并写出t的范围. (2)求解:用t表示x. (3)代入:将用t表示的x代入原式,写出解析式.,2.用方程组法求函数解析式 已知f(x)与f(x)满足的关系式,要求f(x)时,可用(x)代替两边的所有x,得到

6、关于f(x)及f(x)的方程组,解之即可求出f(x).,【巩固训练】1.若f(1-2x)= (x0), 则f =( ) A.1 B.3 C.15 D.30,【解析】选C.令1-2x= ,得x= , 所以,2.已知2f +f(x)=x(x0),求函数f(x)的解析式.,【解析】因为f(x)+2f =x,将原式中的x用 替换, 得f +2f(x)= , 于是得关于f(x)的方程组 解得f(x)= (x0).,【补偿训练】1.已知f(x+1)=x2-3x+2,求函数f(x)的解析式. 【解析】令t=x+1,则x=t-1, 所以f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6, 即f(x)=x2-5x+6.,2.若3f(x-1)+2f(1-x)=2x,求函数f(x)的解析式. 【解析】令t=x-1,则x=t+1, 原式变为3f(t)+2f(-t)=2(t+1), 以-t替换t得:3f(-t)+2f(t)=2(1-t), 由消去f(-t)得f(t)=2t+ ,所以f(x)=2x+ .,类型三 函数的图象及简单应用 【典例3】(2017广州高一检测)已知二次函数f(x)=ax2+bx+3(

7、a0)满足f(3)=f(-1)=0, (1)求f(x)的解析式. (2)画出f(x)的图象. (3)写出其值域.,【解题指南】先由f(3)=f(-1)=0建立方程组求a,b,再利用描点法画f(x)的图象,由图得f(x)的值域.,【解析】(1)由f(3)=f(-1)=0得: 所以f(x)的解析式为f(x)=-x2+2x+3.,(2)列表如下:,描点,连线得f(x)的图象如图所示:,(3)由图可知:其值域为(-,4.,【方法总结】 1.作函数图象的步骤,2.图象平移变换的一般方法 (1)左右平移:y=f(x)的图象 y=f(x+h)的图象. (2)上下平移:y=f(x)的图象 y=f(x)+k的图象.,【巩固训练】作出下列函数的图象,并求出其值域. (1)y= ,x2,+). (2)y=x2-2x-1,x0,4.,【解析】(1)因为y= =2+ ,故函数图象可由 y= 的图象向右平移1个单位,再向上平移2个单位, 取x2部分,如图,观察图象可知其值域为(2,3.,(2)列表,描点,图象为抛物线y=x2-2x-1在0,4之间的部分,由图象知值域为-2,7.,【补偿训练】(2017潍坊高一检测)函数y= +1 的图象是下列图象中的 ( ),【解析】选A.由解析式可知函数图象是由y=- 的图象向右平移1个单位长度(纵坐标不变),然后向上平移1个单位长度(横坐标不变)得到的.,【课堂小结】 1.知识总结,2.方法总结 求函数解析式的方法 (1)待定系数法:函数类型已知时设出函数一般形式,然后利用条件求待定系数. (2)换元法:将含变量的代数式用新变量表示,进而求得解析式.,注意事项 (1)换元法求函数的解析式时,要注意换元后自变量的取值范围. (2)用待定系数法求解析式是针对已知函数类型的问题.,

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