2017-2018年高一数学新人教a版必修1习题点拨素材:3.2 函数模型及其应用
7页1、教材习题点拨教材问题详解问题1我们看到,底为2的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多从中你对“指数爆炸”的含义有什么新的理解?答:线性函数模型增长量是固定不变的,而指数函数模型的“增长量”是成倍增加的,可以说增长的速度越来越快,到了一定程度,就像导弹爆炸一样,每当自变量增加一定量时,函数值会增加的非常多问题2根据这里的分析,是否应作这样的选择:投资5天以下选方案一,投资58天选方案二,投资8天以上选方案三?答:应该作这样的选择教材习题详解练习1y2点拨:将所给数据以散点图的形式描在坐标系中,再顺次连结各点,即可发现各个函数图象的大致形状,从而断定函数类型2解:对于每一台计算机,每一轮都要感染20台,所以第5轮将感染204台,于是10台将感染102041 600 000答:第5轮被感染的计算机共有1 600 000台点拨:题目所描述的感染形式为指数型增长,其感染力无疑是非常巨大的教材问题详解观察请在图象上分别标出使不等式log2x2xx2,log2xx22x成立的自变量x的取值范围答:如图所示,由图得,使不等式log2x2xx2成立的自变量x的取值范围是(2,4);使不等式log2
2、xx22x成立的自变量x的取值范围是(4,)(0,2)探究1你能借助图象,对yx2和ylog2x的增长情况进行比较吗?答:画出函数yx2和ylog2x的图象,如图所示,由图象可以看出,幂函数yx2的图象始终在对数函数ylog2x的图象上方,这说明幂函数yx2比对数函数ylog2x增长得快,并且当自变量越来越大时,可以看到对数函数ylog2x的图象接近于直线,说明增长很慢,相比之下,幂函数yx2的图象越来越“陡”即增长很快探究2你能用同样的方法,讨论一下函数yax(0a1),yxn(n0),ylogax(0a1)在区间(0,)上的衰减情况吗?答:首先作出三个具体函数yx,的衰减情况,作出它们的图象,如图所示,通过观察上面的图,获得这三个具体函数的衰减情况,然后将结论推广到一般的情况:在区间(0,)上,尽管函数yax(0a1)、yxn(n0)和ylogax(0a1)都是减函数,但它们衰减的速度不同,而且不在同一个“档次”上随着x的增大,存在一个x0,当xx0时,xnaxlogax教材习题详解练习解:函数图象如图从函数图象可以发现,增长速度最快的是y0.1ex100,次之的是y20x,增长速
3、度最慢的是y20lnx100点拨:指数型函数是所有函数中增长速度最快的函数,所以常有“指数爆炸”一说教材问题详解问题1你能根据图3.27作出汽车行驶路程关于时间变化的图象吗?答:汽车行驶路程关于时间变化的图象如教材图3.28所示问题2你对模型得出的结果与实际存在的情况有何看法?答:由模型得出的结果与实际存在的结果很可能有误差,这是正常的但从总体来看,这个误差是允许的,因为我们总是估计将来的结果教材习题详解练习11解:(1)1650年世界人口5 亿,年增长率为0.3 %,要使人口变为1650年的2倍,则105e0.003t,即e0.003t2两边取自然对数,得0.003tln20.693 1,解得t231,即1881年世界人口将变为1650年的2倍1970年世界人口36亿,年增长率为2.1%,要使人口变为1970年的2倍,则7236e0.021t,即e0.021t2两边取自然对数,得0.021tln20.693 1,解得t33,即2003年世界人口将变为1970年的2倍(2)函数模型不同,描述现实的程度也有差别,世界各国政府采取的措施都导致人口自然增长率发生变化,所以函数模型是否吻合实际
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