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2017-2018年高一数学新人教a版必修1习题点拨素材：1.2 函数及其表示

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常见问题

1、教材习题点拨教材问题详解思考1分析、归纳以上三个实例，它们有什么特点？答：归纳以上三个实例，可以得到，三个实例中都有两个变量，这两个变量的关系都可以描述为：对于数集A中的任意一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一确定的值y和它对应思考2反比例函数y(k0)的定义域、对应关系和值域各是什么？请用上面的函数定义描述这个函数答：定义域是(，0)(0，)，对应关系x，值域是(，0)(0，)；用函数的定义描述为：对于(，0)(0，)中任意一个数x，在(，0)(0，)中都有唯一的数y(k0)和它对应思考3至此，我们在初中学习的基础上，运用集合和对应的语言刻画了函数的概念，并引进了符号yf(x)，明确了函数的构成要素比较两个函数的定义，你对函数有什么新的认识？答：函数的传统定义(初中学过的函数定义)与它的近代定义(用集合定义函数)在实质上是一致的两个定义中的定义域和值域的意义完全相同；两个定义中的对应法则实际上也一样，只不过叙述的出发点不同传统定义是从运动变化的观点出发，其中对应法则是将自变量x的每一个取值与唯一确定的函数值对应起来；近代定义则是从集合、对应的观点出发，其中的对应法则是将定义

2、域中任一元素与值域中的唯一确定元素对应起来至于函数的传统定义向近代定义过渡的原因，从历史上看，函数的传统定义来源于物理公式，最初的函数概念几乎等同于解析式，要说清楚变量以及两个变量的依赖关系，往往先要弄清各个变量的物理意义，这就使研究受到了不必要的限制后来，人们认识到了定义域和值域的重要性，如果只根据变量的观点来解释，会显得十分勉强，例如教材引文中的实例(2)(3)又如：符号函数sgnx用集合与对应的观点来解释，就显得十分自然了用传统定义几乎无法解释，于是就有了函数的近代定义由于传统的定义比较生动、直观，有时仍然会使用这一定义教材习题详解练习1解：(1)；(2)x|3x1点拨：分式型函数要满足分母不等于零，偶次根式型函数要满足被开方数不小于零2解：(1)f(2)3232228，f(2)3(2)32(2)28，f(2)f(2)0；(2)f(a)3a32a，f(a)3(a)32(a)3a32a，f(a)f(a)0点拨：求函数值就是将所给数值代入到函数解析式中自变量的位置上，再计算出式子的值3答案：(1)不相等，因为h130t5t2中的t受实际意义的限制，而二次函数y130x5x2的定义域是

3、全体实数(2)不相等，因为g(x)x0中的x0，f(x)1的定义域是全体实数点拨：看函数是否相等，要从函数的要素出发，只要定义域和对应法则都一样，就认为两个函数相等教材问题详解思考1(1)比较三种表示法，它们各自的特点是什么？所有的函数都能用解析法表示吗？(2)举出几个函数，分别用三种方法表示答：(1)解析法的特点是：简明、全面地概括了变量间的关系；可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值便于用解析式来研究函数的性质，还有利于我们求函数的值域图象法的特点是：直观形象地表示自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图象来研究函数的某些性质图象法在生产和生活中有许多应用，如企业生产图、股市走势图等列表法的特点是：不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值，列表法在实际生产和生活中也有广泛的应用，如银行利率表、列车时刻表等等并不是所有的函数都能用解析法表示只有函数值随自变量的变化发生有规律的变化时，这样的函数才可能有解析式，否则写不出解析式，也就不能用解析法表示(2)例如函数yx，x1,2,3这是解析法；图象法表示如图列表法表示如下表：x123y123思考2对于例7

4、，如果将(3)中的对应关系f改为：每一个圆都对应它的内接三角形；(4)中的对应关系f改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应f：BA是从集合B到A的映射吗？答：如果将(3)中的对应关系f改为：每一个圆都对应它的内接三角形后，对应f：BA不是从集合B到A的映射，这是因为一个圆有无数个内接三角形；如果将(4)中的对应关系f改为：每一个学生都对应他的班级，对应f：BA是从集合B到A的映射，这是由于每一个学生仅对应唯一的一个班级教材习题详解练习1解：矩形的另一边长为2，其面积为yx(0x50)2答案：(1)与图象D吻合，(2)与图象A吻合，(3)与图象B吻合与图象C吻合的事件：我从家里出发后，骑车快赶，一段时间后发现时间还早，就放慢了速度点拨：从速度的变化和离家距离切入问题3解：函数y|x2|的图象如下图点拨：画含有绝对值的函数的图象，通常要把绝对值号去掉，改写成分段函数的形式4解：sin60，与A中元素60对应的B中的元素是sin45，与B中元素对应的A中的元素是45教材习题详解习题1.2A组1解：(1)(，4)(4，)；(2)R；(3)(，1)(1,2)(2，)；(4)(，1)(1,4点拨

5、：从分式及根式有意义入手，寻找自变量应满足的不等式或不等式组2答案：第(3)组中f(x)g(x)点拨：(1)中定义域不相同，(2)中定义域不相同，所以所给的两个函数均不相等3答案：(1)图象为定义域为R，值域为R(2)图象为定义域为(，0)(0，)，值域为(，0)(0，)(3)图象为左下图，定义域为(，)，值域为(，)(4)图象为右上图，定义域为(，)，值域为2，)4解：f()85，f(a)3a25a2f(a3)3a213a14，f(a)f(3)3a25a16点拨：直接将自变量的具体数值代入解析式中计算，即得对应函数值，字母型的未知量代入后一定要进行化简5解：(1)f(3)，点(3,14)不在f(x)的图象上；(2)当x4时，f(4)3；(3)当f(x)2时，2，x14点拨：考查点是否在函数图象上，就看点的坐标是否满足函数的解析式6解：由题意有解得于是函数f(x)x24x3故f(1)(1)24(1)38点拨：待定系数法先求解析式，再求相应的函数值7解：(1) (2)8解：y，y，yx等9解：xt，定义域是，值域是0，h点拨：柱体的体积底面积高10解：从A到B的映射共有8个，分别是点拨：集合A有m个元素，集合B有n个元素，则从A到B的映射有nm个B组1解：(1)定义域可能是5,02,6)；(2)值域可能是0，)；(3)r在0,2)和(5，)上只与p的一个值对应点拨：定义域看横轴上p的范围，值域看纵轴上r的范围2解：图象如图所示：(1)点和点不在上面函数的图象上(2)略3解：f(x)函数图象如下图点拨：f(x)x可称为“阶梯函数”，其图象是断开的一组平行线段，形同楼梯，应注意端点的包含关系4解：(1)t(0x12)；(2)当x4时，t1.491.63(h)点拨：总时间乘船的时间步行的时间，而时间

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