2017-2018学年高一数学新人教a版必修1课件：第1章 集合与函数概念 1.3.1.1 函数的单调性

1、1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性,主题1 增函数 1.观察下列两个图象,从图形上看,它们有什么共同特征?,提示:从图形上看,它们的图象都是上升的.,2.上述特征能否用数量间的关系来体现?试着填下表:,2,3,4,5,7,8,9,1,4,9,16,36,49,64,3.通过对应值表你发现了什么? 提示:当自变量x的值增大时,对应的函数值y也随着增大.,结论:增函数的定义 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量 的值x1,x2,当x1x2时,都有_,那么就说函数 f(x)在区间D上是增函数.,f(x1)f(x2),【微思考】 1.如果在函数y=f(x)中有f(1)f(2),能否得到函数为增函数?,提示:不能,函数单调性的定义中任取x1,x2,当x1x2时,f(x1)f(x2),则函数y=f(x)为增函数,而1和2只是定义域上的两个特殊值,不能说明对任意的x1x2,都有f(x1)f(x2),所以由f(1)f(2)得不到函数为增函数.,2.若函数f(x)在区间I上是增函数,且DI,则f(x)在D上也是增函数吗? 提示:是,根据增函数的定义

2、知,一个函数在某区间上是增函数,那么在这个区间的任意一子区间上一定也是增函数.,主题2 减函数 1.观察下列两个函数图象,类比增函数的认知、探究过程完成下面填空.,0,-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,1,2.通过对应值表及图象观察你发现了什么? 提示:当自变量x的值增大时,对应的函数值y逐渐减小.,结论: 1.减函数的定义 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的 值x1,x2,当x1x2时,都有_,那么就说函数 f(x)在区间D上是减函数.,f(x1)f(x2),2.单调性 如果函数y=f(x)在区间D上是_,那么 就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性.区 间D叫做y=f(x)的_.,增函数或减函数,单调区间,【微思考】 1.在函数增减性的定义中,x1-x2的符号与f(x1)-f(x2)的符号之间有什么关系? 提示:当函数是增函数时,x1-x2与f(x1)-f(x2)的符号相同;当函数是减函数时,x1-x2与f(x1)-f(x2)的符号相反.,2.所有的函数在定义域上都具有单调性吗? 提示:并不是所有函数在定义域上都是单调的,如函数f(x)=1,xR在

3、定义域上就不是单调的.,【预习自测】 1.下列函数中,在区间(0,+)上是减函数的是 ( ) A.y=- B.y=x C.y=x2 D.y=1-x 【解析】选D.y=- ,y=x,y=x2在(0,+)上是增函数.,2.设f(x)在R上是减函数,则 ( ) A.f(1)f(2) B.f(-1)f(a) C.f(0)f(a) D.f(1)f(2),【解析】选A.因为f(x)在R上是减函数,又1f(2).,3.函数y=f(x)的图象如图所示,其增区间是 ( ) A.-4,4 B.-4,-31,4 C.-3,1 D.-3,4,【解析】选C.由图可知增区间为-3,1.,4.已知(a,b)是函数y=f(x)的单调增区间,且x1, x2(a,b),若x1f(x2) D.以上都正确,【解析】选A.根据函数单调性的定义可得正确答案.,5.函数f(x)=x2+2x+1的单调递减区间是_. 【解析】f(x)=x2+2x+1=(x+1)2,其对称轴为x=-1, 所以减区间为(-,-1). 答案:(-,-1),6.证明函数f(x)= ,x(-,0)是减函数. 【证明】设x1,x2(-,0)且x10, 又x10,

4、 则 0,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),故f(x)= 在(-,0)上是减函数.,类型一 函数的单调区间 【典例1】求函数f(x)=-x2+2|x|+3的单调区间,并指出其值域. 【解题指南】作出函数f(x)=-x2+2|x|+3的图象,根据图象观察得到.,【解析】f(x)= 即f(x)= 图象如图所示,由图象知,函数f(x)=-x2+2|x|+3在(-,-1)和0,1上是增函数,在-1,0)和(1,+)上是减函数.函数f(x)= -x2+2|x|+3的值域为(-,4.,【方法总结】求函数单调区间的三种方法 方法一:转化为已知的基本初等函数(如一次函数、二次函数等)的单调性判断. 方法二:定义法.即先求出定义域,再利用单调性的定义进行判断求解. 方法三:图象法.即先画出图象,根据图象求单调区间.,【巩固训练】(2017成都高一检测)设函数f(x)= 画出函数f(x)的图象,并指出函数 的定义域、值域、单调区间.,【解题指南】分别在同一坐标系内作出二次函数y=x2+4x+3及一次函数y=-x+3的图象,然后分别截取在区间-4,0)及0,+)上的部分,即得到f(x)的

5、图象,再由图象得出函数的定义域、值域、单调区间.,【解析】图象如图所示. 由图象可知:函数的定义域:-4,+),值域:(-,3,单调增区间:(-2,0),单调减区间:(-4,-2),(0,+).,【补偿训练】1.f(x)= 的单调递减区间为 . 【解析】f(x)= 的定义域为(-，-1)(-1，+)， 任取x1，x2(-，-1)且x10，所以f(x1)f(x2)，(-， -1)为f(x)= 的单调递减区间，同理(-1，+)为f(x) = 的单调递减区间. 答案：(-，-1)，(-1，+),2.作出函数f(x)= 的图象，并指出函数的单调区间. 【解析】f(x)= 的图象如图所示：,由图可知：函数的单调减区间为(-，1和(1，2)；单调增区间为2，+).,类型二 函数单调性的证明 【典例2】(2017衡水高一检测)已知函数f(x)= (c为常数),且f(1)=0. (1)求c的值. (2)证明函数f(x)在0,2上是单调递增函数.,【解题指南】(1)由f(1)=0,求c. (2)利用单调性的定义作差变形后讨论差的符号,从而得出f(x)的单调性.,【解析】(1)因为f(1)= =0,所以c

6、=1,即c的值为1. (2)f(x)= ,在0,2单调递增,证明如下: 任取x1,x20,2,且x1x2, 则f(x1)-f(x2)= = 即f(x1)f(x2), 所以,f(x)在0,2上单调递增.,【方法总结】利用定义证明函数单调性时的变形技巧 (1)因式分解:当原函数是多项式函数时,常进行因式分解. (2)通分:当原函数是分式函数时,作差后通分,然后对分子进行因式分解. (3)分子有理化:当原函数是根式函数时,作差后往往考虑分子有理化.,【巩固训练】(2017佛山高一检测)讨论函数f(x)= (a0)在(-1,1)上的单调性. 【解题指南】利用单调性的定义作差变形后讨论差的符号,从而得出f(x)的单调性.,【解析】设-10,x1x2+10, (x12-1)(x22-1)0, 又a0,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2), 所以f(x)在(-1,1)上为减函数.,【补偿训练】(2017浏阳高一检测)已知函数f(x)= x+ ,且此函数图象过点(1,5). (1)求实数m的值. (2)判断函数f(x)在(0,2)上的单调性?并用定义证明你的结论.,【解题指南】(1)把

7、(1,5)代入函数f(x),可求得m的值. (2)函数在(0,2)上单调递减,可利用单调性的定义证明.,【解析】(1)把(1,5)代入函数f(x)得f(1)=1+m=5,解得m=4.,(2)函数在(0，2)上单调递减，证明如下： 任取0f(x2)，所以函数在(0，2)上单调递减.,类型三 函数单调性的应用 【典例3】(2017葫芦岛高一检测)若函数y= 在 (-1,+)上单调递增,求a的取值范围.,【解题指南】将y= 化为y=a- 再由增减性确定a的范围.,【解析】因为y= 又y=a- 在(-1，+)上单调递增，所以a0，即a的取值范围 是a0.,【延伸探究】 1.(变换条件)若加上条件“y= -(a-2)x在(-1，+) 上也是增函数”，求a的取值范围. 【解析】由函数y= -(a-2)x在(-1，+)上单调递增得： a-20，综上0a2.,2.若条件改为f(x)= 在R上为增函 数,求a的取值范围.,【解析】由y= -(a-2)x在(-，1)上递增，则a-20，又f(x)在R上为增函数，所以还需 -(a-2)1 ，得a .综上a的取值范围是 a2.,【方法总结】函数单调性应用的两个

8、关注点 (1)单调性的定义的“双向性”:利用定义可以判断、证明函数的单调性,反过来,若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围. (2)若一个函数在区间a,b上是单调的,则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.,【补偿训练】已知函数f(x)=ax2-2x+2. (1)若f(x)的单调减区间为(-,4),求a的取 值范围. (2)若f(x)在区间(-,4)上为减函数,求a的取值范围.,【解析】(1)由题意知 (2)由f(x)在区间(-,4)上为减函数,说明(-,4) 只是函数f(x)的一个减区间.当a=0时,f(x)=-2x+2在 (-,4)上单调递减,故成立.当a0时, 由 得0a .综上可知0a .,拓展类型:抽象函数的单调性 【典例】已知定义在(0,+)上的函数f(x)对任意x,y(0,+),恒有f(xy)=f(x)+f(y),且当00,判断f(x)在(0,+)上的单调性.,【解题指南】根据单调性的定义,将f(x1)-f(x2)转化 为 再根据f(xy)=f(x)+f(y),判断 f(x1)-f(x2)的符号.,【解析】设x1，x2(0，+)且x10，所以f(x1)-f

9、(x2)0，即f(x1)f(x2)， 所以f(x)在(0，+)上单调递减.,【方法总结】抽象函数单调性判断的两种类型及其解法 类型一:f(x+y)型,解决方法为构造式子 f(x2)=f(x1+(x2-x1),再利用题设条件将它用f(x1)和f(x2-x1)表示出来,然后确定f(x2-x1)的范围,从而确定f(x1)与f(x2)的大小关系.,类型二：f(xy)型，只需构造式子f(x2)= 再利 用条件将它用f(x1)与 表示出来，然后确定 的 范围，从而确定f(x1)与f(x2)的大小关系.,【课堂小结】 1.知识总结,2.方法总结 (1)函数y=f(x)与y=-f(x)的单调性相反. (2)当c0时,函数y=f(x)与y=cf(x)的单调性相同;当c0时,函数y=f(x)与y=cf(x)的单调性相反. (3)当函数y=f(x)恒为正或恒为负时,y=f(x)与y= 的单调性相反.,(4)函数y=f(x)与函数y=f(x)+c的单调性相同. (5)函数f(x)和g(x)都为增(减)函数,则函数f(x)+g(x)亦为增(减)函数.,注意事项: (1)单调区间必须是函数定义域的子集. (2)若函数f(x)在其定义域内的两个区间A,B上都是增(减)函数,一般不能简单认为f(x)在AB上是增(减)函数.,(3)函数的单调区间的书写,只要在端点处有定义,用开区间或闭区间都可以,但若在端点处无定义,必须用开区间表示.,

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