2017-2018学年高一数学新人教a版必修1课件：第2章 基本初等函数（ⅰ） 2.1.2.1 指数函数的图象及性质

1、2.1.2 指数函数及其性质 第1课时 指数函数的图象及性质,主题1 指数函数的定义 1.某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,一个这样的细胞分裂x次以后,得到的细胞个数y与x满足什么关系式? 提示:y与x之间满足y=2x(xN*).,2.有一根1米长的绳子,第一次剪去绳长的一半,第二次再剪去剩余绳子的一半,剪去x次后剩余绳子的长度为y米,则y与x满足什么关系式? 提示:y与x之间满足y= (xN*).,3.上面问题1,2中满足的关系式是否是函数关系?它们与函数y=x2有什么区别?,提示:因为对于每一个x都有唯一的y与之对应,因此按照函数的定义这两个关系式都可构成函数.它们与函数y=x2的区别在于前者的自变量都在指数的位置上,而y=x2的自变量在底数的位置上.,结论:指数函数的定义 函数_叫做指数函数,其中_是自变量, 函数的定义域是_.,y=ax(a0且a1),x,R,【微思考】 指数函数解析式有什么特征?,提示:特征1:底数a为大于0且不等于1的常数. 特征2:自变量x的位置在指数上,且x的系数是1. 特征3:ax的系数是1.,主题2 指数函数的图象与性质 在同一坐标系

2、中用描点法画出y=2x及y= 的图象. 列表,0.25,0.5,1,2,4,4,2,1,0.5,0.25,描点画图: 结合图象你发现二者之间有什么关系?,提示:共同点:都在x轴上方;都过点(0,1). 不同点:y= 的图象是下降的,y=2x的图象是上升的. 联系:二者关于y轴对称.,结论:指数函数的图象与性质,R,(0,+),(0,1),增函数,减函数,【微思考】 1.对于指数函数y=ax(a0且a1),当底数a的值越来越大时,图象在第一象限内的位置关系有什么特点?,提示:底数a的取值越大时,函数的图象在第一象限越靠近y轴;反之底数a的取值越小,函数的图象在第一象限越靠近x轴.,2.指数函数的单调性取决于哪个量? 提示:指数函数的单调性与其底数a有关,当a1时,y=ax在定义域上是增函数,当0a1时,y=ax在定义域上是减函数.,【预习自测】 1.下列函数是指数函数的是 ( ) A.y=(-2)x B.y=x3 C.y=-2x D.y=2x,【解析】选D.形如y=ax(a0且a1)的函数为指数函数.,2.已知1nm0,则指数函数y=mx,y=nx的图象为 ( ),【解析】选C.由1nm

3、0可知两曲线应为递减的函数,故排除A,B,再由nm可知应选C.,3.若指数函数f(x)的图象过点(3,8),则f(x)的解析式为 ( ) A.f(x)=x3 B.f(x)=2x C.f(x)= D.f(x)=,【解析】选B.设f(x)=ax(a0且a1),因为f(3)=8,故a3=8,所以a=2.,4.若函数f(x)=(a-1)x是指数函数,则a的取值范围是_.,【解析】由题意知 答案:a1且a2,5.函数f(x)= 的定义域是_.,【解析】要使函数f(x)有意义,需2x-10,即2x1,故x0. 答案:0,+),类型一 指数函数的定义 【典例1】(1)(2017德州高一检测)下列各函数中,是指数函数的是 ( ) A.y=x3 B.y=(-4)x C.y=5x+1 D.y=52x=25x,(2)(2017长沙高一检测)若函数y=(a2-5a+5)ax是指数函数,求a的值.,【解题指南】(1)观察函数解析式的形式看是否满足指数函数的定义,然后再下结论. (2)已知是指数函数时,需紧扣指数函数解析式的特点,让ax的系数为1,列出a的方程,进而求出a的值,检验可得答案.,【解析】(1)选D.

4、A中虽然是一个幂函数,但自变量出现在底数上,故不是指数函数;B中虽然是一个幂函数,且自变量出现在指数上,但-40,不满足“大于0且不等于1”这个条件,故不是指数函数;C中虽然是一个幂函数,x也出现在指数上,但指数并不是自变量x,故不是指数函数;D中52x=25x恰好符合指数函数的三个特点,故是指数函数.,(2)由题意可知 所以a=4.,【方法总结】 1.判断一个函数是指数函数的方法 (1)看形式:只需判定其解析式是否符合y=ax(a0,且a1)这一结构特征.,(2)明特征:指数函数的解析式具有三个特征,即a0且a1;ax的系数为1;指数位置自变量x的系数为1.只要有一个特征不具备,就不是指数函数.,2.已知某函数是指数函数求参数值的两个步骤 (1)列:根据底数大于0且不等于1,ax的系数是1且指数位置自变量x的系数是1,列出方程(组)或不等式(组). (2)解:解所列方程(组)或不等式(组),求出参数的值.,【巩固训练】若函数y=(a-2)2ax是指数函数,则( ) A.a=1或a=3 B.a=1 C.a=3 D.a0且a1,【解析】选C.令(a-2)2=1,得a=3或a=1,当a=1

5、时不符合题意舍去,故a=3.,【误区警示】解答本题易出现选A的错误,出现这种错误的原因是忽略了指数函数的底数a需满足a0且a1.,【补偿训练】若f(x)=(a-1)ax+b是指数函数,求f(b).,【解析】因为f(x)=(a-1)ax+b是指数函数, 所以 即a=2,b=0, 故f(x)=2x,所以f(b)=f(0)=20=1.,类型二 指数函数的图象问题 【典例2】(1)(2017绵阳高一检测)图中曲线C1,C2,C3,C4分别是指数函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的图象,则a,b,c,d与1之间的大小关系是 ( ) A.ab1cd B.ab1dc C.ba1cd D.ba1dc,(2)画出函数y=5|x|的图象.,【解题指南】(1)取特殊值,令x=1,得到的y值即为a,b,c,d,通过观察图象即可确定大小关系. (2)先考虑去掉绝对值,然后画出函数的图象.,【解析】(1)选D.过点(1,0)作直线x=1,在第一象限内分别与各曲线相交,可知1dc,ba1,故ba1dc. (2)当x0时,y=5|x|=5x;当x0时,y=5|x|=5-x= .所以函数y=5|x|的图象如图所

6、示.,【延伸探究】 1.试根据本例(2)中所画图象,指出函数y=5|x|的图象特征.,【解析】由本例(2)图象可知,图象最低点为(0,1),向上无限延伸,且图象关于y轴对称.,2.若把本例(2)中的函数改为y=5|x+1|,请画出它的图象. 【解题指南】解答本题可先去绝对值号,把已知函数转化为分段函数,再用描点法作图,也可以利用图象变换来解题.,【解析】方法一:当x-1时,y=5|x+1|=5x+1; 当x-1时,y=5|x+1|=5-(x+1)= 所以函数y=5|x+1|的图象如图(1)所示.,方法二:利用图象变换来解题.易画出y=5|x|的图象,只需将函数y=5|x|的图象向左平移1个单位,即可得函数y=5|x+1|的图象.如图(2)所示.,【方法总结】 1.函数图象问题的处理技巧 (1)抓住图象上的特殊点,如指数函数的图象过定点. (2)利用图象变换,如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移). (3)利用函数的奇偶性与单调性.奇偶性确定函数的对称情况,单调性决定函数图象的走势.,2.指数型函数图象过定点问题的处理策略 求指数型函数图象所过的定点时,只需令指数为0,求出对应的x与

7、y的值,即为函数图象所过的定点.,【巩固训练】若函数y=ax+b-1(a0,且a1)的图象经过第二、三、四象限,则一定有 ( ) A.00 B.a1,且b0 C.00,【解析】选C.根据题意画出函数y=ax+b-1(a0,且a1)的大致图象,如图所示.所以0a1,且f(0)=1+b-10,即0a1,且b0.,【补偿训练】(2017滁州高一检测)函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是 ( ) A.a1,b1,b0 C.00 D.0a1,b0,【解析】选D.从曲线的变化趋势,可以得到函数f(x)为减函数,从而有00,即b0.,类型三 指数函数的定义域、值域问题 【典例3】求下列函数的定义域与值域. (1)y= .(2)y= .(3)y=9x+23x-1.,【解题指南】利用指数函数的定义和性质来求函数的定义域、值域,对于形式较为复杂的可以考虑利用换元法求解.,【解析】(1)要使函数y= 有意义,则x-10,所以x1. 所以函数y= 的定义域为x|x1. 因为x1, 0,所以 1. 所以函数y= 的值域为y|y0,且y1.,(2)要使函数y= 有意义,则2x

8、-10,所以x . 所以函数y= 的定义域为 因为2x-10,所以 0,所以y= 1. 所以函数y= 的值域为y|y1.,(3)函数y=9x+23x-1的定义域为R. 令t=3x,则t0, 所以y=t2+2t-1=(t+1)2-2,其对称轴为直线t=-1. 因为t0,所以函数y=(t+1)2-2单调递增, 所以y=(t+1)2-21-2=-1. 所以函数y=9x+23x-1值域为y|y-1.,【方法总结】函数y=af(x)定义域、值域的求法 (1)定义域:形如y=af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合. (2)值域:换元,令t=f(x); 求t=f(x)的定义域xD; 求t=f(x)的值域tM;,利用y=at的单调性求y=at,tM的值域. 提醒:(1)通过建立不等关系求定义域时,要注意解集为各不等关系解集的交集. (2)当指数型函数的底数含字母时,在求定义域、值域时要注意分类讨论.,【巩固训练】求函数 的定义域和值域.,【解析】要使函数 有意义,只需2x-40,解得 x2;令 则t0,由于函数y=3t在t(0,+) 上是增函数,故3t1.故函数 的定义域为x|x2, 值域为y|y1.,【误区警示】此题易忽略2x-40,而误认为2x-40从而造成错误.,【补偿训练】已知f(x)=3x-b(2x4,b为常数)的图象过点(2,1),则f(x)的值域为 ( ) A.9,81 B.3,9 C.1,9 D.1,+),【解析】选C.因为函数f(x)=3x-b的图象过点(2,1),所以32-b=1,即2-b=0,所以b=2,故f(x)=3x-2.又因为2x4,所以0x-22,即13x-29,故f(x)的值域为1,9.,【课堂小结】 1.知识总结,2.方法总结 (1)根据指数函数解析式的特征判断函数是否为指数函数. (2)运用数形结合思想,借助指数函数图象去研究指数函数的性质.,

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