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中考数学专题：二次函数图象和性质（含答案和解析）

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常见问题

1、8 二次函数图象和性质1.【辽宁沈阳2015年中考数学试卷】在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象可能是（）【答案】D【解析】考点：二次函数的图象2.【辽宁盘锦2015年中考数学试卷】如图是二次函数（）图象的一部分，对称轴是直线x=2关于下列结论：ab0；9a3b+c0；b4a=0；方程的两个根为，其中正确的结论有（）A B C D【答案】B【解析】试题分析：抛物线开口向下，a0，b=4a，ab0，错误，正确，抛物线与x轴交于4，0处两点，方程的两个根为，正确，当a=3时y0，即9a3b+c0，错误，故正确的有故选B考点：二次函数图象与系数的关系3.【2015届湖南省邵阳市邵阳县中考二模】如图，函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与x轴相交于A、B两点，頂点为点M則下列说法不正确的是（）Aa0 B当x=-1时，函数y有最小值4C对称轴是直线=-1 D点B的坐标为（-3，0）【答案】B.【解析】考点：抛物线与x轴的交点4【2015届浙江省嘉兴市海宁市中考模拟】二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a0）中的x与y的部分对应值如表：x1013y1353下列结论：（1）ac0

2、；（2）当x1时，y的值随x值的增大而减小（3）3是方程ax2+（b1）x+c=0的一个根；（4）当1x3时，ax2+（b1）x+c0其中正确的个数为（）A1个 B2个 C3个 D4个【答案】C【解析】考点：二次函数的性质5.【吉林长春2015年中考数学试题】如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形连结则对角线的最小值为【答案】1【解析】试题分析：由题意可知，当AC=y最小时，根据矩形的对角线相等的性质可知BD的长也最小，因此根据二次函数求出y的最小值，因此把y=x2-2x+2配方为y=(x-1)2+1，所以y的最小值为y=1，即BD的最小值为1.考点：二次函数的图像与性质6.【黑龙江绥化2015年中考数学试题】把二次函数y=2x的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为_.【答案】或（答出这两种形式中任意一种均可）.【解析】试题分析：根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，可得二次函数y=2x2平移后的抛物线的解析式为，或.考点：抛物线的平移.7【2015届河北省沧州市东光二中中考二模】已知二次函数y=3（x

3、1）2+k的图象上有三点A（，y1），B（2，y2），C（，y3），则y1、y2、y3的大小关系为【答案】y1y2y3【解析】考点：二次函数图象上点的坐标特征8【2015届河北省唐山市中考二模】如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c0的解集是【答案】-1x3【解析】试题分析：由图象得：对称轴是x=1，其中一个点的坐标为（3，0）图象与x轴的另一个交点坐标为（-1，0）利用图象可知：ax2+bx+c0的解集即是y0的解集，-1x3考点：二次函数与不等式（组）9【黑龙江牡丹江2015年中考数学试题】如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A（1，0），B（3，0）请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）点E（2，m）在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点F是AE中点，连接FH，求线段FH的长注：抛物线y=ax2+bx+c（a0）的对称轴是x=【答案】（1）y=x2-2x-3；（2）.【解析】试题解析：（1）抛物线y=x2+bx+c经过点A（1，0），B（3，0），把A,B两点坐

4、标代入得：，解得：，抛物线的解析式是：y=x2-2x-3；（2）点E（2，m）在抛物线上，把E点坐标代入抛物线解析式y=x2-2x-3得：m=443=3，E（2，3），BE=.点F是AE中点，点H是抛物线的对称轴与x轴交点，即H为AB的中点，FH是三角形ABE的中位线，FH=BE=线段FH的长.考点：1.待定系数法求抛物线的解析式；2.勾股定理；3.三角形中位线定理.10.【2015届湖北省黄冈市启黄中学中考模拟】如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y=x+m（m为常数）的图象与x轴交于A（3，0），与y轴交于点C以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax+bx+c（a，b，c为常数，且a0）经过A，C两点，与x轴正半轴交于点B（1）求一次函数及抛物线的函数表达式（2）在对称轴上是否存在一点P，使得PBC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标（3）点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合），过点D作DEPC交x轴于点E，连接PD、PE设CD的长为m，PDE的面积为S求S与m之间的函数关系式并说明S是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由【答案】（1）y=x2+x2；（2

5、）P（1，）；（3）S=（m1）2+，当m=1时有最大值【解析】（1）根据待定系数法即可直接求出一次函数解析式，根据A点坐标和对称轴求出B点坐标，利用交点式即可求出二次函数解析式；（2）要使PBC的周长最小，只需BP+CP最小即可求出直线AC解析式，将x=1代入即可求出P点纵坐标，从而求出P点坐标；（3）将SPDE转化为SAOCSDOESPDCSPEA，再转化为关于x的二次函数，然后求二次函数的最大值试题解析：（1）y=x+m经过点A（3，0），0=2+m，解得m=2，直线AC解析式为y=x2，C（0，2）抛物线y=ax2+bx+c对称轴为x=1，且与x轴交于A（3，0），另一交点为B（1，0），设抛物线解析式为y=a（x+3）（x1），抛物线经过 C（0，2），2=a3（1），解得a=，抛物线解析式为y=x2+x2（2）要使PBC的周长最小，只需BP+CP最小即可如图1，连接AC交x=1于P点，因为点A、B关于x=1对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时BP+CP最小（BP+CP最小值为线段AC的长度）A（3，0）（，0），C（0，2），直线AC解析式为y=x2，xP=1，yP=，即P（1，）考点：二次函数综合题8

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