根与系数关系知识点与综合应用
7页1、鹿邑前沿教育根与系数的关系知识点及综合应用一、一元二次方程根与系数的关系(1) 若方程 (a0)的两个实数根是x1,x2,则x1+x2= -,x1x2=(2) 若一个方程的两个根为x1,,x2,那么这个一元二次方程为 (a0)二、 根与系数的关系的应用:(1)验根:不解方程,利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根;(2)判别一元二次方程两根的符号。例1:不解方程,判别方程两根的符号。 分析:对于来说,往往二次项系数,一次项系数,常数项皆为已知,可据此求出根的判别式,但只能用于判定根的存在与否,若判定根的正负,则需要确定 或的正负情况。因此解答此题的关键是:既要求出判别式的值,又要确定 或的正负情况。解:,42(7)650 方程有两个不相等的实数根。设方程的两个根为, 0原方程有两个异号的实数根。 说明:判别根的符号,需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定,另外由于本题中0,所以可判定方程的根为一正一负;倘若0,仍需考虑的正负,方可判别方程是两个正根还是两个负根。(3)求根及未知数字母系数:已知方程的一个根,可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数字母
2、系数.例2:已知方程的一个根为2,求另一个根及的值。 分析:此题通常有两种解法:一是根据方程根的定义,把代入原方程,先求出的值,再通过解方程办法求出另一个根;二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。解法一:把代入原方程,得:即解得当时,原方程均可化为:,解得:方程的另一个根为4,的值为3或1。解法二:设方程的另一个根为,根据题意,利用韦达定理得:,把代入,可得:把代入,可得:,即 解得方程的另一个根为4,的值为3或1。 说明:比较起来,解法二应用了韦达定理,解答起来较为简单。(4)求代数式的值:在不解方程的情况下,可利用根与系数的关系求关于x1和x2的代数式的值,根与系数关系常用的转化关系:x12 + x22 =(x1+x2)2 - 2x1x2 ;= ;(x1+a)(x2+a)=x1x2+a(x1+x2)+a2;(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2 ;x1-x2=(5) 求作新方程:已知方程的两个根,可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般式.X2-(x1+x2)x+x1x2=0(6)运用判别式及根与系数的关系解题。例:已知、是关于的一元二次方程的两个非零实
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