高数(上)习题与答案(极限)

1、1 复习题（一） 一、定义域 （1）函数的定义域 ()2lg 3 1 + =x x y （2）函数的定义域1 4 1 2 + =x x y （3）函数的定义域为0，1，则定义域为( )xf ( ) + += 4 1 4 1 xfxfxg 二、求极限 （1） + x x x x x 1 sin 2sin 3 lim 0 0 3 1 2 limsin sin2 2 x x x x x =+ 00 3 1 2 limlim sin sin2 2 xx x x x x =+ 0 0 3 lim 2 sin2 lim 2 x x x x = 3 2 = ()lim0 mm nn xa xa a xa 1 1 lim m n xa mx nx = lim m n xa m x n = m n m a n = x x x + 2 1lim 2 2 2 lim1 x x x =+ 2 2 2 2 lim 1 x x x =+ 2 e= x x x ln lim 1 lim0 x x = 45 86 lim 2 2 4 + + xx xx x4 2 lim 1 x x x = 2 3 = x x x x

2、 x tan2sin lim 000 sin2n1 lim2lim 2cos xx xsix xxx = 000 sin2n1 2 limlimlim 2cos xxx xsix xxx = 1= =2 11 lim 2 0 + + x x x () 2 0 lim11 x x + =+ 1 sin lim 0 x x e x 0 s lim1 x x co x e = ； ex x ex 1ln lim 11 lim xex e = ；()11lim 22 + xx x 22 2 lim0 11 x xx = + + ； x x x 1 sinlim 1 sin lim1 1x x x = x x x 2 1 1lim 2 2 1 lim1 x x e x = x x x3cos 5cos lim 2 2 5sin5 lim 3sin3x x x = 5 3 = 3 0 2 2sin limln 0 sin lim x x x xx x x e x + + = 2 0 cossin lim 2sin x xxxx x x e + = 0 sin 2 lim 2 1 x xx x e

3、+ = () 11 111ln limlim ln1ln1 xx xx xxxx = 1 1 1 lim 1 ln x x x x x = + 1 1 lim 1ln x x xxx = + 1 1 lim 2ln x x = + 1 2 = 1 11 lim 0 x x ex () 0 1 lim 1 x x x ex x e = 0 1 lim 1 x xx x e exe = + 0 lim 2 x xx x e exe = + 0 1 lim 2 x x = + 1 2 = 1 1 3 1 23 2 limlim 1 21 1 2 x x xx x x x x + + + + = + + 4 1 1 3 1 2 lim 1 1 2 x x x x x + + + = + 2 3 2 3 1 2 2 33 11 22 lim 11 11 22 x x x xx xx + = + e= 解法 2：原式 1 2 lim 1 21 x x x + =+ + 21 1 22 2 lim 1 21 x x x + + =+ + 211 22 22 lim 11 2121 x x xx +

4、=+ + e= 解法 1： x xx x 3 0 sin 1sin1 lim () 3 0 sin lim sin1 sin1 x xx xxx = + 3 0 1sin lim 2sin x xx x = 2 0 11cos lim 23sincos x x xx = 2 2 0 1 1 2 lim 23 x x x = 1 12 = 解法 2： x xx x 3 0 sin 1sin1 lim 3 0 11 sin 22 lim x xx x + = 3 0 1sin lim 2 x xx x + = 5 2 0 1cos1 lim 23 x x x + = 2 2 0 1 1 2 lim 23 x x x = 1 12 = () 2 2 1 arctan 12 limlim 111 sincos xx x x xxx + + = 洛比达法则 2 2 lim 1 x x x + = + 1= 不存在 x x x1 sin arctan 2 lim () x x x tan 2 sinlim ， tan sin x yx=解：令tanlnsinyxx=则ln 22 limlimtan

5、lnsin xx yxx =ln 2 lnsin lim 1 tan x x x = 2 2 2 cos sin lim sec tan x x x x x = 2 2 cos limsin sin x x x x = 2 1 limsin2 2x x = 0= , 0 2 limln x ye =ln 2 lim1 x y = 6 解： sinsin ln 00 limlim xxx xx xe + = 0 lim sin ln x xx e + = 00 ln limsin lnlim 1 sin xx x xx x + = 0 2 1 lim cos sin xx x x + = 2 0 sin lim cos x x xx + = 0 limsin x x + = 0= sin 0 lim1 x x x + = xx x 3tan 6 sinlim 6 ， 6 tx =解：令 0 6 limsintan3limsin cot3 6 t x xxtt = 则 0 cos3 limsin sin3 t t t t = 0 sin lim sin3 t t t = 1 3 = x x

6、x x 5sin sin3sin lim 0 00 sin3sin2sin2 cos limlim sin5sin5 xx xxxx xx =解： 0 2sin2 lim sin5 x x x = 4 5 = 7 ； + 2 sin 12 coslim 2 2 0 xx x x 2 22 22 00 212 limcoslimcos sinsin 22 xx x xx xxxx +=+ 解： 2 2 2 00 2 limcoslim sin 2 xx x x xx =+ 2 2 2 00 2 2 limcoslim2 sin 2 xx x x xx =+ 0= 3 0 sin1tan1 lim x xx x + 33 00 11 tansin 1tan1sin 22 limlim xx xx xx xx + =解： 3 0 1tansin lim 2 x xx x = () 3 0 sin1cos1 lim 2cos x xx xx = 2 0 11cos lim 2 x x x = 0 1sin lim 22 x x x = 1 4 = ；()xx x x 2coscos1 1 li

7、m 2 0 8 () 2 0 1 lim1coscos2 x xx x 解： ； ()1ln 1 0 lim + x e x x ()() 1ln ln1ln1 00 limlim xx x ee xx xe + =解： () 0 ln lim ln1 x x x e e + = 0 1 lim x x x e xe e + = 0 lim x xx x e exe e + + = 0 1 lim 1 x x e + + = e= （2），则（）3 2 lim= + x x kx kx =k （a）（b）（c）（d d d d） 2 e 2 1 e 23ln 3 1 2 2 1 lim3 2 1 k x k k xx k k x k x + = 分析： 3 2 1 33ln3 3 k k k e ek e = （12）数列的极限是（） n nn xn cos+ = （a a a a）1（b）-1（c）0（d）不存在 cos1 limlimlim 1cos1 n nnn nn xn nn + =+= 分析： （16）（） ()()() = + 3 321 lim n nnn n （a）0（b）1（c）3（d）6 9 ()()() 3 123123 limlim 1111 nn nnn nnnn + =+= 分析： （18）（）= x x x 3sin 5sin lim （a）（b）-1（c）1（d d d d） 3 4 3 5 sin55cos55 limlim sin33cos33 xx xx xx =分析： （22）（）= + + + xx xx x sin 31 lim 2 （a）-1（b b b b）-2（c）1（d）2 2 2 1 13 13 limlim2 sin sin 1 xx xx x x xx x + + + = + + 分析： （23）若，则（） () 5 1sin lim 2 1 = + x baxx x （a）（b）3, 5=ba6, 7=ba （c c c c）（d）4, 3=ba1, 0=ba () () 2 2 11 lim5lim01 sin1 xx xaxb xaxbba x + =+= 分析：由，可知，即 ()() () 1 11 1lim5 sin1 x xxa ba x + =

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