高中数学 第1章 常用逻辑用语 3 全称量词与存在量词学案 苏教版选修

1、“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线1.3.1量词1.3.2含有一个量词的命题的否定1.理解全称量词和存在量词的意义.(重点)2.能判定全称命题与存在性命题的真假.(难点)3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.(重点、易混点)基础初探教材整理1全称量词、存在量词与全称命题、存在性命题阅读教材P13，完成下列问题.1.全称量词与全称命题(1)“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，通常用符号“x”表示“对任意x”.(2)含有全称量词的命题称为全称命题，一般形式为：xM，p(x).2.存在量词和存在性命题(1)“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，通常用符号“x”表示“存在x”.(2)含有存在量词的命题称为存在性命题，一般形式为：xM，p(x).判断正误：(1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词.()(2)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”.()(3)全称命题一定含有全称量词，存在性命题一定含有存在量

2、词.()(4)xM，p(x)与xM，綈p(x)的真假性相反.()【解析】(1).“有些”“某个”“有的”都表示部分，是存在量词.(2).由全称量词与存在量词的定义可知(2)正确.(3).有些全称命题与存在性命题可能省略量词.(4).命题p与其否定綈p真假性相反.【答案】(1)(2)(3)(4)教材整理2全称命题与存在性命题的否定阅读教材P15例1以上部分，完成下列问题.1.全称命题的否定全称命题p綈p结论xM，p(x)xM，綈p(x)全称命题的否定是存在性命题2.存在性命题的否定存在性命题p綈p结论xM，p(x)xM，綈p(x)存在性命题的否定是全称命题(2014安徽高考改编)命题“xR，|x|x20”的否定是_. 【导学号：24830013】【解析】原命题为全称命题其否定为“x0R，|x0|x0”.【答案】x0R，|x0|x；(3)x0，y0N，使x0y03.【精彩点拨】结合全称命题与存在性命题的含义及相关数学知识进行判断.【自主解答】(1)a0，当x1时，axa0，成立，(1)为真命题.(2)x2x12，x2x1恒成立，(2)是真命题.(3)当x00，y03时，x0y03满足题意，

3、(3)是真命题.全称命题与存在性命题真假判断的方法：(1)对于全称命题“xM，p(x)”：要证明它是真命题，需对集合M中每一个元素x，证明 p(x)成立；要判断它是假命题，只要在集合M中找到一个元素x0，使 p(x0)不成立即可.(通常举反例)(2)存在性命题的真假判断要结合存在量词来进行，在限定的集合内，看能否找到相应的元素使命题成立，能找到，命题为真，否则为假.再练一题2.判断下列命题中的真假：(1) xR,2x10 ；(2)xN*，(x1)20；(3)x0R，lg x00”是全称命题，易知2x10恒成立，故是真命题；(2)命题“xN*，(x1)20”是全称命题，当x1时，(x1)20，故是假命题；(3)命题“x0R，lg x01”是存在性命题，当x1时，lg x0，故是真命题；(4)命题“x0R，tan x02”是存在性命题，依据正切函数定义，可知是真命题.含有一个量词的命题的否定写出下列命题的否定，并判断真假：(1)p：xR，x2x0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：x0R，x2x020；(4)s：至少有一个实数x0，使x10.【精彩点拨】首先弄清楚所给命题是全称命题

4、还是存在性命题，然后针对量词和结论两个方面进行否定.【自主解答】(1)綈p：x0R，xx0 0，真命题.xR，x22x2(x1)2110恒成立綈r是真命题.(4)綈s：xR，x310，假命题.x1时，x310，綈s是假命题.1.写一个命题的否定的步骤：首先判定该命题是“全称命题”还是“存在性命题”，并确定相应的量词，其次把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词同时否定结论.2.对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定.再练一题3.写出下列命题的否定：(1)p：一切分数都是有理数；(2)q：有些三角形是锐角三角形；(3)r：x0R，xx0x02; (4)s：xR,2x40. 【导学号：24830014】【解】(1)綈p：有些分数不是有理数；(2)綈q：所有的三角形都不是锐角三角形；(3)綈r：xR，x2xx2；(4)綈s：x0R,2x040.探究共研型全称命题与存在性命题的综合应用探究1(1)“xR ，ax2”的含义是什么？ (2)“x1,2 ，ax2”的含义是什么？若上述两个命题是真命题，试分别求出a的取值范围.【提示

5、】(1)“xR ，ax2”的含义是方程x2a0有实数根，所以其判别式4a0，解得a0；(2)“x1,2，ax2”的含义是方程x2a0在1,2内有实数根，也就是函数yx2，x1,2和函数ya的图象有交点，因为x1,2，所以x21,4，所以a的取值范围是1a4.探究2(1)“x1,2，ax2”的含义是什么？ (2)“x1,2，ax2”的含义是什么？若上述两个命题是真命题，试分别求出a的取值范围.【提示】(1)“x1,2，ax2”的含义是对于所有的，一切在1,2内的x，不等式ax2都恒成立，所以a要小于x2的最小值.因为x1,2，所以x21,4，所以a1；(2)“x1,2，ax2”的含义是在1,2内至少有一个x ，使不等式ax2成立，此时只要a不大于x2的最大值即可.因为x1,2，所以x21,4，所以a4.(1)若命题p：xR，ax24xa2x21是真命题，则实数a的取值范围是_.(2)若“x0R，x2x02m”是真命题，则实数m的取值范围是_.【精彩点拨】(1)转化为不等式的恒成立问题；(2)转化为方程有实数根的问题.【自主解答】(1)ax24xa2x21是真命题，即不等式ax24xa2x

6、21对xR恒成立，即(a2)x24x(a1)0恒成立.当a20时，不符合题意.故有即解得a2.(2)方法一：由于“x0R，x2x02m”是真命题，则实数m的取值集合就是二次函数f(x)x22x2的值域，即m|m1.方法二：依题意，方程x22x2m0有实数解，44(2m)0，解得m1.【答案】(1)2，)(2)1，)应用全称命题与存在性命题求参数范围的常见题型1.全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以代入，也可以根据函数等数学知识来解决.2.存在性命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表达.解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设.再练一题4.(2016徐州高二检测)若存在x0R，使ax2x0a0，则实数a的取值范围是_. 【导学号：24830015】【解析】当a0时，显然存在x0R，使ax2x0a0时，必需44a20，解得1a1，故0a1.综上所述，实数a的取值范围是a1.【答案】a11.下列命题是全称命题的是_.(1)有一个向量a0，a0

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