高中数学 第1章 导数及其应用 1_4 导数在实际生活中的应用学案 苏教版选修2-2
9页1、“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色,纪律是不能触碰的底线,政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线1.4导数在实际生活中的应用1能应用导数解决实际问题(重点)2审清题意,正确建立函数关系式(难点)3忽视变量的实际意义,忽略函数定义域(易错点)基础初探教材整理导数在生活中的应用阅读教材P35P38“练习”以上部分,完成下列问题1导数的实际应用导数在实际生活中有着广泛的应用,如用料最省、利润最大、效率最高等问题一般可以归结为函数的最值问题,从而可用导数来解决2用导数解决实际生活问题的基本思路1做一个容积为256 m3的方底无盖水箱,所用材料最省时,它的高为_m.【解析】设底面边长为x m,高为h m,则有x2h256,所以h.所用材料的面积设为S m2,则有S4xhx24xx2x2.S2x,令S0,得x8,因此h4(m)【答案】42某一件商品的成本为30元,在某段时间内,若以每件x元出售,可卖出(200x)件,当每件商品的定价为_元时,利润最大【解析】利润为S(x)(x30)(200x)x2230x6 000,S(x)2x230,由S(x)0,得x115
2、,这时利润达到最大【答案】115质疑手记预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1:_解惑:_疑问2:_解惑:_疑问3:_解惑:_小组合作型面积、体积的最值问题请你设计一个包装盒,如图141,ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E,F在AB上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设AEFBx(cm)图141(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值?(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值【精彩点拨】弄清题意,根据“侧面积4底面边长高”和“体积底面边长的平方高”这两个等量关系,用x将等量关系中的相关量表示出来,建立函数关系式,然后求最值【自主解答】设包装盒的高为h cm,底面边长为a cm.由已知得ax,h(30x),0x30.(1)S4ah8x(30x)8(x15)21 800,所以当x15时,S取得最大值(2)Va2h2(x330x2),
3、V6x(20x)由V0,得x0(舍去)或x20.当x(0,20)时,V0;当x(20,30)时,V0.所以当x20时,V取得极大值,也是最大值此时,即包装盒的高与底面边长的比值为.1解决面积、体积最值问题的思路要正确引入变量,将面积或体积表示为变量的函数,结合实际问题的定义域,利用导数求解函数的最值2解决导数在实际应用时应注意的问题(1)列函数关系式时,注意实际问题中变量的取值范围,即函数的定义域;(2)一般地,通过函数的极值来求得函数的最值如果函数f(x)在给定区间内只有一个极值点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f(x)0,则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可,不必再与端点处的函数值进行比较再练一题1将一张26 m 的矩形钢板按如图142所示划线,要求至全为矩形,且其中与,与分别是全等的矩形,且,沿线裁去阴影部分,把剩余部分焊接成一个以为底,为盖的水箱,设水箱的高为x m,容积为y m3.图142(1)写出y关于x的函数关系式;(2)x取何值时,水箱的容积最大【解】(1)由水箱的高为x m,得水箱底面的宽为(22x) m,长为(3x) m.故水箱的容积为y2x38x2
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