高中数学 第1章 导数及其应用 1_3_1 单调性学案 苏教版选修2-2

1、“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线1.3.1单调性1利用导数研究函数的单调性(重点)2含有字母参数的函数单调性的讨论，单调区间的求解(难点)3由单调性求参数的取值范围(易错点)基础初探教材整理函数的单调性与其导数的关系阅读教材P28“例1”以上部分，完成下列问题1函数的单调性与其导数的关系(1)一般地，在某区间上函数yf(x)的单调性与导数有如下关系：导数函数的单调性f(x)0f(x)为该区间上的增函数f(x)0.()(2)函数f(x)在其定义域上是单调减函数()(3)函数f(x)x32x在(1，)上单调递增()(4)若存在x(a，b)有f(x)0成立，则函数f(x)为常数函数()【答案】(1)(2)(3)(4)2函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是_【解析】f(x)(x3)ex(x3)(ex)(x2)ex，令f(x)0，解得x2.【答案】(2，)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型判断(证明

2、)函数的单调性(1)求证：函数f(x)exx1在(0，)内是增函数，在(，0)内是减函数(2)判断函数f(x)在区间(0,2)上的单调性【精彩点拨】求出导数f(x)，然后判断导数的符号即可【自主解答】(1)证明：由于f(x)exx1，所以f(x)ex1，当x(0，)时，ex1，即f(x)ex10.故函数f(x)在(0，)内为增函数，当x(，0)时，ex1，即f(x)ex10.故函数f(x)在(，0)内为减函数(2)由于f(x)，所以f(x).由于0x2，所以ln xln 20.故f(x)0.函数f(x)在区间(0,2)上是单调递增函数1利用导数证明函数f(x)在给定区间上的单调性，实质上就是证明f(x)0(或f(x)0，又f(x)(ln xx)1，当x0时，f(x)10，故yln xx在其定义域内为增函数求函数的单调区间求下列函数的单调区间：(1)f(x)x2ln x；(2)f(x)；(3)f(x)x33x2.【精彩点拨】首先确定函数的定义域，再求导数，进而解不等式得单调区间【自主解答】(1)函数f(x)的定义域为(0，)f(x)2x.因为x0，所以x10，由f(x)0，解得x，所以函

3、数f(x)的单调递增区间为；由f(x)0，解得x0，(x2)20.由f(x)0，解得x3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，)；由f(x)0，解得x3，又x(，2)(2，)，所以函数f(x)的单调递减区间为(，2)和(2,3)(3)函数f(x)的定义域为R.f(x)3x26x3x(x2)当0x0，所以函数f(x)的单调递增区间为(0,2)；当x2时，f(x)0(或f(x)0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f(x)0得x2x20，解得x2，又x0，所以函数f(x)的单调递增区间为(2，)【答案】(2，)探究共研型已知函数的单调性求参数的取值范围探究1已知函数f(x)x3ax1为单调递增函数，如何求实数a的取值范围【提示】由已知得f(x)3x2a，因为f(x)在(，)上是单调增函数，所以f(x)3x2a0在(，)上恒成立，即a3x2对xR恒成立，因为3x20，所以只需a0.又因为a0时，f(x)3x20，f(x)x31在R上是增函数，所以a0.探究2若函数f(x)xln x(aR)在(1，)上单调递增，求a的取值范围【提示】函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)1由题意知，f(

4、x)0在(1，)上恒成立，即x2xa0在(1，)上恒成立，令g(x)x2xa2a，则g(x)2a，从而2a0，a2.当a2时，f(x)0在(1，)上恒成立，因此实数a的取值范围是(，2已知关于x的函数yx3axb.(1)若函数y在(1，)内是增函数，求a的取值范围；(2)若函数y的一个单调递增区间为(1，)，求a的值【精彩点拨】(1)函数在区间(1，)内是增函数，则必有y0在(1，)上恒成立，由此即可求出a的取值范围(2)函数y的一个单调递增区间为(1，)，即函数单调区间的端点值为1，由此可解得a的值【自主解答】y3x2a.(1)若函数yx3axb在(1，)内是增函数则y3x2a0在x(1，)时恒成立，即a3x2在x(1，)时恒成立，则a(3x2)最小值因为x1，所以3x23.所以a3，即a的取值范围是(，3(2)令y0，得x2.若a0，则x2恒成立，即y0恒成立，此时，函数yx3axb在R上是增函数，与题意不符若a0，令y0，得x或x.因为(1，)是函数的一个单调递增区间，所以1，即a3.1解答本题注意：可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是f(x)0(或f

5、(x)0)在(a，b)上恒成立，且f(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于0.2已知f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则区间(a，b)是相应单调区间的子集；(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则f(x)0(f(x)0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立再练一题3将上例(1)改为“若函数y在(1，)上不单调”，则a的取值范围又如何？【解】y3x2a，当a0，函数在(1，)上单调递增，不符合题意当a0时，函数y在(1，)上不单调，即y3x2a0在区间(1，)上有根由3x2a0可得x或x(舍去)依题意，有1，a3，所以a的取值范围是(3，)构建体系1设函数f(x)在定义域内可导，yf(x)的图象如图131所示，则导函数yf(x)的图象可能是()图131【解析】当x0时，f(x)为增函数，f(x)0，排除，；当x0时，f(x)先增后减再增，对应f(x)先正后负再正故选.【答案】2下列函数中，在区间(1,1)上是减函数的有_(填序号)y23x2；yln x；y

6、；ysin x.【解析】显然，函数y23x2在区间(1,1)上是不单调的；函数yln x的定义域为(0，)，不满足题目要求；对于函数y，其导数y0，且函数在区间(1,1)上有意义，所以函数y在区间(1，1)上是减函数；函数ysin x在上是增函数，所以函数ysin x在区间(1,1)上也是增函数【答案】3函数f(x)2x39x212x1的单调减区间是_【解析】f(x)6x218x12，令f(x)0，即6x218x120，解得1x2.【答案】(1,2)4已知函数f(x)在(2，)内单调递减，则实数a的取值范围为_【解析】f(x)，由题意得f(x)0在(2，)内恒成立，解不等式得a，但当a时，f(x)0恒成立，不合题意，应舍去，所以a的取值范围是.【答案】5已知函数f(x)ln x，g(x)ax22x，a0.若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递减，求a的取值范围【解】h(x)ln xax22x，x(0，)，所以h(x)ax2.因为h(x)在1,4上单调递减，所以x1,4时，h(x)ax20恒成立，即a恒成立，所以aG(x)最大值，而G(x)21.因为x1,4，所以，所以G(x)最大值(此时x4)，所以a.当a

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