高中数学 第1章 导数及其应用 1_1_2 瞬时变化率——导数学案 苏教版选修2-2

1、“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线1.1.2瞬时变化率导数1结合实际背景理解函数的瞬时变化率导数的概念及其几何意义(重点、难点)2会求简单函数在某点处的导数及切线方程(重点)3理解导数与平均变化率的区别与联系(易错点)基础初探教材整理1曲线上一点处的切线阅读教材P8P9“例1”以上部分，完成下列问题设Q为曲线C上不同于P的一点，这时，直线PQ称为曲线的割线，随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C.当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线判断正误：(1)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点()(2)过曲线外一点作已知曲线的切线有且只有一条()【答案】(1)(2)教材整理2瞬时速度与瞬时加速度阅读教材P11P12，完成下列问题(1)一般地，如果当t无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在tt0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率(2)一般地，

2、如果当t无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在tt0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率1判断正误：(1)自变量的改变量x是一个较小的量，x可正可负但不能为零()(2)瞬时速度是刻画某物体在某一时间段内速度变化的快慢()【答案】(1)(2)2如果质点A按规律s3t2运动，则在t3时的瞬时速度为_【解析】183t，当t0时，183018.质点A在t3时的瞬时速度为18.【答案】18教材整理3导数阅读教材P13P14，完成下列问题1函数在一点处的导数及其几何意义(1)导数设函数yf(x)在区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，若x无限趋近于0时，比值无限趋近于一个常数A，则称f(x)在xx0处可导，并称该常数A为函数f(x)在xx0处的导数，记作f(x0)(2)导数的几何意义导数f(x0)的几何意义就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率2导函数若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f(x)f(x)在

3、xx0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在xx0处的函数值1判断正误：(1)函数yf(x)在xx0处的导数值与x值的正、负无关()(2)函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点xx0处切线的斜率()(3)若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处有切线，则f(x0)必存在()(4)若f(x0)不存在，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线斜率不存在()【解析】根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立【答案】(1)(2)(3)(4)2已知f(x)2x5，则f(x)在x2处的导数为_【解析】yf(2x)f(2)2(2x)5(225)2x，2，f(2)2.【答案】23函数yf(x)的图象在点P处的切线方程是y2x9，若P点的横坐标为4，则f(4)f(4)_.【解析】由导数的几何意义，f(4)2.又f(4)2491.故f(4)f(4)121.【答案】1质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型求瞬时速度、瞬时加速度(1

4、)以初速度v0(v00)垂直上抛的物体，t秒时的高度为s(t)v0tgt2，则物体在t0时刻的瞬时速度为_(2)某物体的运动方程为s2t3，则物体在第t1时的瞬时速度是_【精彩点拨】先求出，再求瞬时速度【自主解答】(1)sv0(t0t)g(t0t)2v0tgt0tg(t)2，v0gt0gt，当t0时，v0gt0，即t0时刻的瞬时速度为v0gt0.(2)当t1时，s2(1t)321321(t)33t3(t)2222(t)36t6(t)222(t)36(t)26t，2(t)26t6，当t0时，6，则物体在第t1时的瞬时速度是6.【答案】(1)v0gt0(2)6求运动物体瞬时速度的三个步骤：(1)求时间改变量t和位移改变量ss(t0t)s(t0)；(2)求平均速度；(3)求瞬时速度，当t无限趋近于0时，无限趋近于常数v，即为瞬时速度再练一题1一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s3tt2(位移单位：m，时间单位：s)(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t2时的瞬时速度；(3)求t0到t2时的平均速度. 【导学号：01580003】【解】(1)(3t)，当t0时，3t3 即物体的初

5、速度为3 m/s.(2)t1，当t0时，t11，即物体在t2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度方向相反(3)1，即t0到t2时的平均速度为1 m/s.求函数在某点处的导数求函数y在x2处的导数【精彩点拨】求y计算当x0，得导数【自主解答】令f(x)，则yf(2x)f(2)1，当x0时，1，函数y在x2处的导数为1.由导数的定义，求函数yf(x)在点x0处的导数的方法：(1)求函数的增量yf(x0x)f(x0)；(2)求平均变化率；(3)x0，得导数f(x0)再练一题2求函数f(x)x在x1处的导数【解】y(1x)x1x，1，当x0时，12函数在x1处的导数等于2.探究共研型导数的几何意义及其应用探究1若函数yf(x)在点x0处的导数存在，则曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程是什么？【提示】根据直线的点斜式方程，得切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)探究2曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点【提示】不一定，切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极限位置，在其他地方可能还有一个或多个公共点探究3函数在某点处的导数与导函数有什么区别和联系【提示】区别：函数在某点

6、处的导数是一个定值，导函数是一个函数联系：函数f(x)在x0处的导数就是导函数f(x)在xx0时的函数值已知曲线f(x).(1)求曲线过点A(1,0)的切线方程；(2)求满足斜率为的曲线的切线方程【精彩点拨】(1)点A不在曲线上，设切点坐标，写出切线方程，把A(1,0)代入求出切点坐标，进而求出切线方程(2)设出切点坐标，由该点斜率为，求出切点，进而求出切线方程【自主解答】(1)，当x0时，.设过点A(1,0)的切线的切点为P，则f(x0)，即该切线的斜率为k.因为点A(1,0)，P在切线上，所以，解得x0.故切线的斜率k4.故曲线过点A(1,0)的切线方程为y4(x1)，即4xy40.(2)设斜率为的切线的切点为Q，由(1)知，kf(a)，得a.所以切点坐标为或.故满足斜率为的曲线的切线方程为y(x)或y(x)，即x3y20或x3y20.1求曲线过已知点的切线方程的步骤2若已知切线的斜率，则可根据切点处的导数即为斜率求得切点的坐标，根据点斜式写出切线方程再练一题3已知抛物线y2x2，则抛物线在点(1,2)处的切线方程为_. 【导学号：01580004】【解析】因为42x，当x0时，4

7、2x4，所以f(1)4.所以切线方程为y24(x1)，即4xy20.【答案】4xy20构建体系1一个物体的运动方程为s1tt2，其中s的单位是：m，t的单位是：s，那么物体在3 s末的瞬时速度是_【解析】5t，t0，(5t)5(m/s)【答案】5 m/s2一质点M按运动方程s(t)at21做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)若质点M在t2 s时的瞬时速度为8 m/s，则常数a_.【解析】因为ss(2t)s(2)a(2t)21a2214ata(t)2，所以4aat，故当t2时，瞬时速度为t0时4a，所以4a8，所以a2.【答案】23曲线f(x)在点(2，1)处的切线方程为_【解析】，令x0时，.切线方程为y1(x2)，即x2y40.【答案】x2y404已知f(1)2，则当x0时，_.【解析】2当x0时，f(1)，22f(1)2(2)4.【答案】45求曲线yf(x)x21过点P(1,0)的切线方程【解】设切点为Q(a，a21)，2ax，当x0时，2ax2a，所以所求切线的斜率为2a.因此，2a，解得a1，所以所求的切线方程为y(22)x(22)或y(22)x(22)我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_

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