高中数学 3_2_2 平面的法向量与平面的向量表示学案 新人教b版选修2-1
19页1、“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色,纪律是不能触碰的底线,政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线3.2.2平面的法向量与平面的向量表示1理解平面的法向量的概念, 会求平面的法向量(重点)2会用平面的法向量证明平面与平面平行、垂直(重点)3理解并会应用三垂线定理及其逆定理,证明有关垂直问题(难点)基础初探教材整理1平面的法向量与向量表示阅读教材P102P103“例1”,完成下列问题1平面的法向量已知平面,如果向量n的基线与平面垂直,则向量n叫做平面的法向量或说向量n与平面正交2平面的向量表示设A是空间任一点,n为空间内任一非零向量,适合条件n0的点M的集合构成的图形是过空间内一点A并且与n垂直的平面这个式子称为一个平面的向量表示式3两平面平行、垂直的判定设n1,n2分别是平面,的法向量,则(1)或与重合n1n2;(2)n1n2n1n20.1若直线l的方向向量a(1,0,2),平面的法向量为n(2,0,4),则()AlBlCl Dl与斜交【解析】n(2,0,4)2(1,0,2)2a,na,l.【答案】B2若平面,的法向量分别为a(2,1,0),b(1,
2、2,0),则与的位置关系是()A平行 B垂直C相交但不垂直 D无法确定【解析】ab2200,ab,.【答案】B教材整理2三垂线定理及其逆定理阅读教材P104第5行P105第2行内容,完成下列问题1正射影已知平面和一点A,过点A作的垂线l与相交于点A,则A就是点A在平面内的正射影,简称射影2三垂线定理如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射线垂直,则它也和这条斜线垂直3三垂线定理的逆定理如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它也和这条斜线在平面内的射影垂直判断(正确的打“”,错误的打“”)(1)若a是平面的一条斜线,直线b垂直于a在内的射影,则ab.()(2)若a是平面的斜线,平面内的直线b垂直于a在平面内的射影,则ab.()(3)若a是平面的斜线,直线b,且b垂直于a在另一个平面内的射影,则ab.()(4)若a是平面的斜线,b,直线b垂直于a在平面内的射影,则ab.()【答案】(1)(2)(3)(4)质疑手记预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1:_解惑:_疑问2:_解惑:_疑问3:_解惑:_小组合作型利用平面法向量证明平行关系已知正方体
3、ABCDA1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证:(1)FC1平面ADE;(2)平面ADE平面B1C1F.【精彩点拨】建立空间直角坐标系,利用平面的法向量求解【自主解答】(1)建立如图所示空间直角坐标系Dxyz,则有D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),所以(0,2,1),(2,0,0),(0,2,1)设n1(x1,y1,z1)是平面ADE的法向量,则n1,n1,即得令z12,则y11,所以n1(0,1,2)因为n1220,所以n1.又因为FC1平面ADE,所以FC1平面ADE.(2)(2,0,0),设n2(x2,y2,z2)是平面B1C1F的法向量由n2,n2,得得令z22,得y21,所以n2(0,1,2),因为n1n2,所以平面ADE平面B1C1F.用向量方法证明空间平行关系的方法线线平行设直线l1,l2的方向向量分别是a,b,则要证明l1l2,只需证明ab,即akb(kR)线面平行(1)设直线l的方向向量是a,平面的法向量是u,则要证明l,只需证明au,即au0.
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