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高中数学 3_1_2 空间向量的基本定理学案 新人教b版选修2-1

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    • 1、“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色,纪律是不能触碰的底线,政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线3.1.2空间向量的基本定理1理解共线向量定理(重点)2理解共面向量定理及推论(重点)3理解空间向量分解定理,并能用定理解决一些几何问题(重点)4理解基底、基向量及向量的线性组合的概念(重点、难点)基础初探教材整理1共线向量与共面向量定理阅读教材P82P83“空间向量分解定理”上面,完成下列问题1共线向量定理两个空间向量a,b(b0),ab的充要条件是存在唯一的实数x,使axb.2共面向量定理(1)向量与平面平行已知向量a,作a,如果a的基线OA平行于平面或在平面内,则说明向量a平行于平面.(2)共面向量平行于同一平面的向量,叫做共面向量(3)共面向量定理如果两个向量a,b不共线,则向量c与向量a,b共面的充要条件是,存在唯一的一对实数x,y,使cxayb.1空间的任意三个向量a,b,3a2b,它们一定是()A共线向量B共面向量C不共面向量 D既不共线也不共面向量【答案】B2对于空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,有623,则()A四点O,A,B,C

      2、必共面B四点P,A,B,C必共面C四点O,P,B,C必共面D五点O,P,A,B,C必共面【答案】B教材整理2空间向量分解定理阅读教材P83“空间向量分解定理”P84,完成下列问题如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使pxaybzc.其中,表达式xaybzc,叫做向量a,b,c的线性表示式或线性组合,a,b,c叫做空间的一个基底,记作a,b,c,其中a,b,c都叫做基向量判断(正确的打“”,错误的打“”)(1)若a,b,c为空间一个基底,则a,b,2c也可构成空间一个基底()(2)若向量的坐标为(x,y,z),则点P的坐标也为(x,y,z)()(3)若三个非零向量a,b,c不能构成空间的一个基底,则a,b,c共面()【答案】(1)(2)(3)质疑手记预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1:_解惑:_疑问2:_解惑:_疑问3:_解惑:_小组合作型共线向量定理如图3113所示,已知四边形ABCD,ABEF都是平行四边形且不共面,M,N分别是AC,BF的中点,判断与是否共线图3113【精彩点拨】分析题意根据M,N的位置

      3、表示出根据与的关系作出判断【自主解答】M,N分别是AC,BF的中点,四边形ABCD,ABEF都是平行四边形,()()().,即与共线判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数x,使axb成立,同时要充分利用空间向量运算法则结合具体的图形,化简得出axb,从而得出ab,即a与b共线再练一题1已知四边形ABCD是空间四边形,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边CB,CD上的点,且,.求证:四边形EFGH是梯形图3114【证明】E,H分别是AB,AD的中点,()()(),且|.又点F不在上,四边形EFGH是梯形基底的判断若a,b,c是空间的一个基底,试判断ab,bc,ca能否作为该空间的一个基底【精彩点拨】判断ab,bc,ca是否共面,若不共面,则可作为一个基底,否则,不能作为一个基底【自主解答】假设ab,bc,ca共面,则存在实数,使得ab(bc)(ca),abba()c.a,b,c为基底,a,b,c不共面此方程组无解,ab,bc,ca不共面ab,bc,ca可以作为空间的一个基底判断给出的某一向量组能否作为基底,关键是要判断它们是否共面,如果从正面难以入手,可用反证法或利用一些常见

      4、的几何图形进行判断再练一题2已知e1,e2,e3是空间的一个基底,且e12e2e3, 3e1e22e3,e1e2e3,试判断,能否作为空间的一个基底?【解】假设,共面,由向量共面的充要条件知存在实数x,y使xy成立e12e2e3x(3e1e22e3)y(e1e2e3)(3xy)e1(xy)e2(2xy)e3.e1,e2,e3是空间的一个基底,e1,e2,e3不共面,此方程组无解,即不存在实数x,y使xy成立,不共面故,能作为空间的一个基底探究共研型向量共面探究P,A,B,C四点共面的四种充要条件【提示】(1)存在有序实数对(x,y),使得xy.(2)对于空间任意一定点O,有xy.(3)空间一点P在平面ABC内的充要条件是存在有序实数组(x,y,z)使得xyz(其中xyz1)(4).已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外的任一点O,若点M满足.(1)判断,三个向量是否共面;(2)判断点M是否在平面ABC内【精彩点拨】(1)是否存在实数x,y,使xy?(2)如何证明四点共面?【自主解答】如图:(1)由已知,得3,()().向量,共面(2)由(1)知,向量,共面,表明三个向量的有向线段又过

      5、同一点M,M,A,B,C四点共面点M在平面ABC内1证明空间三个向量共面,常用如下方法:(1)设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合,即若axbyc,则向量a,b,c共面;(2)寻找平面,证明这些向量与平面平行2对空间四点P,M,A,B可通过证明下列结论成立来证明四点共面:(1)xy;(2)对空间任一点O,xy;(3)对空间任一点O,xyz(xyz1);(4)(或,或)再练一题3如图3115,已知四边形ABCD是平行四边形,点P是ABCD所在平面外的一点,连接PA,PB,PC,PD.设点E,F,G,H分别为PAB,PBC,PCD,PDA的重心试用向量方法证明E,F,G,H四点共面图3115【解】分别连接PE,PF,PG,PH并延长,交对边于点M,N,Q,R,连接MN,NQ,QR,RM,因为点E,F,G,H分别是所在三角形的重心,所以M,N,Q,R是所在边的中点,且,.由题意知四边形MNQR是平行四边形,所以()()()()()又.所以,由共面向量定理知,E,F,G,H四点共面构建体系1给出下列几个命题:向量a,b,c共面,则它们的基线共面;零向量的方向是任意的;若ab,则存

      6、在唯一的实数,使ab.其中真命题的个数为()A1B2C3D4【解析】向量a,b,c共面,它们的基线不一定共面故错误;由共线向量定理知错误【答案】A2若向量,的起点M和终点A,B,C互不重合且无三点共线,则能使向量,成为空间一组基底的关系是()A.B.C.D.2【解析】由共面向量定理可知A,B,D中均满足,共面,故,不能构成空间向量的一组基底【答案】C3如图3116所示,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,M为AC的三等分点(靠近A点),N是A1D的三等分点(靠近D点)设a,b,c,用a,b,c表示为_图3116【解析】()()(ab)c(bc)abc.【答案】abc4从空间一点P引出三条射线PA,PB,PC,在PA,PB,PC上分别取a,b,c,点G在PQ上,且PG2GQ,H为RS的中点,则_.(用a,b,c表示) 【导学号:15460062】【解析】()abc.【答案】abc5如图3117,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E在A1D1上,且2,F在对角线A1C上,且.图3117求证:E,F,B三点共线【证明】设a,b,c,因为2,所以,所以b,()()abc,所以abc.又bcaabc,所以,所以E,F,B三点共线我还有这些不足:(1)_(2)_我的课下提升方案:(1)_(2)_学业分层测评(建议用时:45分钟)学业达标一、选择题1已知空间的一个基底a,b,c,mabc,nxay bc,若m与n共线,则xy等于()A2B2C1D0【解析】因为m与n共线,所以xaybcz(abc)所以所以所以xy0.【答案】D2已知向量a,b,且a2b,5a6b,7a2b,则一定共线的三点是()AA,B,D BA,B,CCB,C,D DA,C,D【解析】5a6b7a2b2a4b,a2b,2,与共线,又它们经过同一点B,A,B,D三点共线【答案】A3A,B,C不共线,对空间任意一点O,若,则P,A,B,C四点()A不共面 B共面C不一定共面 D

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