高中数学 2_4_2 抛物线的几何性质学案 新人教b版选修2-1
13页1、“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色,纪律是不能触碰的底线,政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线2.4.2抛物线的几何性质1掌握抛物线的几何性质(重点)2掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题(重点)3能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题(难点)基础初探教材整理抛物线的几何性质阅读教材P61,完成下列问题.标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形性质焦点准线xxyy范围x0,yRx0,yR_对称轴_顶点_离心率_开口方向向右向左向上向下【答案】y0,xRy0,xRx轴y轴(0,0)e1判断(正确的打“”,错误的打“”)(1)抛物线关于顶点对称()(2)抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心()(3)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同()【答案】(1)(2)(3)质疑手记预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1:_解惑:_疑问2:_解惑:_疑问3:_解惑:_小组合作型利用抛物线的性质求抛物线方程已知双曲线1(a0,b0)的两条渐近线与抛物线y22px(
2、p0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点若双曲线的离心率为2,AOB的面积为,求抛物线的标准方程【精彩点拨】由双曲线离心率求得其渐近线方程,从而求得交点A,B的坐标,即可得到三角形面积表达式,从而得到p的值,进而写出标准方程【自主解答】由已知得2,所以4,解得,即渐近线方程为yx.而抛物线准线方程为x,于是A,B,从而AOB的面积为p,可得p2.因为抛物线开口向右,所以其标准方程为y24x.抛物线各元素间的关系抛物线的焦点始终在对称轴上,顶点就是抛物线与对称轴的交点,准线始终与对称轴垂直,准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称,顶点到焦点的距离为.再练一题1抛物线的顶点在原点,对称轴重合于椭圆9x24y236短轴所在的直线,抛物线焦点到顶点的距离为3,求抛物线的方程及抛物线的准线方程【解】椭圆的方程可化为1,其短轴在x轴上,抛物线的对称轴为x轴,设抛物线的方程为y22px或y22px(p0)抛物线的焦点到顶点的距离为3,即3,p6,抛物线的标准方程为y212x或y212x,其准线方程分别为x3和x3.抛物线几何性质的应用正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y22px(
3、p0)上,求这个正三角形的边长【精彩点拨】先证明x轴是它们的公共对称轴,再求三角形边长【自主解答】如图所示,设正三角形OAB的顶点A,B在抛物线上,且坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则y2px1,y2px2.又OAOB,所以xyxy,即xx2px12px20,整理得(x1x2)(x1x22p)0.x10,x20,2p0,x1x2,由此可得|y1|y2|,即线段AB关于x轴对称,由此得AOx30,所以y1x1,与y2px1联立,解得y12p,|AB|2y14p.抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用,但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件本题的关键是根据抛物线的对称性和正三角形的性质证明A,B两点关于x轴对称另外,抛物线方程中变量x,y的范围也是常用的几何性质再练一题2等腰直角三角形AOB内接于抛物线y22px(p0),O为抛物线的顶点,OAOB,则RtABO的面积是() 【导学号:15460047】A8p2B4p2C2p2 Dp2【解析】由抛物线的对称性,可知kOA1,可得A,B的坐标分别为(2p,2p),(2p,2p),SABO2p4p4p2.【答案
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