高中数学 2_4 向量的应用学案 新人教b版必修4

1、“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线2.4向量的应用1.会用向量法计算或证明平面几何和解析几何中的相关问题.(重点)2.会用向量法解决某些简单的物理学中的问题.基础初探教材整理1向量在几何中的应用阅读教材P117P120以上内容，完成下列问题.1.直线与向量平行的条件(1)直线的斜率与向量的关系：设直线l的倾斜角为，斜率为k，A(x1，y1)l，P(x，y)l，向量a(a1，a2)平行于l，可得ktan .(2)平行条件：如果知道直线l的斜率k，则向量(a1，a2)一定与该直线平行.(3)法向量：如果表示向量的基线与一条直线垂直，则称这个向量垂直该直线.这个向量称为这条直线的法向量.2.特殊向量设直线l的一般方程为AxByC0，则向量(A，B)与直线l垂直，向量(B，A)与l平行.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若ABC是直角三角形，则有0.()(2)若，则直线AB与CD平行.()【解析】(1)错误.因为ABC为直角三角形，B并不一定是直角，有可能是A或C为直角.(2)错误.向量时

2、，直线ABCD或AB与CD重合.【答案】(1)(2)教材整理2向量在物理中的应用阅读教材P121P122以上内容，完成下列问题.1.力向量力向量与自由向量不同，它包括大小、方向、作用点三个要素.在不考虑作用点的情况下，可利用向量运算法则进行计算.2.速度向量一质点在运动中每一时刻都有一个速度向量，该速度向量可以用有向线段表示.已知力F (2,3)作用在一物体上，使物体从A(2,0)移动到B(2,3)，则F 对物体所做的功为_焦耳.【解析】由已知位移(4,3)，力F 做的功为WF 2(4)331.【答案】1质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_疑问4：_解惑：_小组合作型向量在平面几何中的应用如图241，在正三角形ABC中，D，E分别是AB，BC上的一个三等分点，且AE与CD交于点P，求证：BPDC.图241【精彩点拨】先表示出图中向量对应的线段，再计算所需向量的数量积.【自主解答】设，并设正三角形ABC的边长为a，则有：，(21).又，(21)kk，于是有解得，从而a2a2a2cos 600.由向量垂直的条

3、件知，BPDC.垂直问题的解决，一般的思路是将目标线段的垂直转化为向量的数量积为零，而在此过程中，则需运用线性运算，将目标向量用基底表示，通过基底的数量积运算式使问题获解，如本题便是将向量，由基底，线性表示.当然基底的选取应以能够方便运算为准，即它们的夹角是明确的，且长度易知.再练一题1.如图242所示，若D是ABC内的一点，且，求证：ADBC.图242【证明】设a，b，e，c，d，则aec，bed，a2b2(ec)2(ed)2c22ec2edd2.由已知a2b2c2d2，c22ec2edd2c2d2，即e(cd)0.dc，e(dc)0，即ADBC.向量在解析几何中的应用过点A(2,1)，求：(1)与向量a(3,1)平行的直线方程；(2)与向量b(1,2)垂直的直线方程.【精彩点拨】在直线上任取一点P(x，y)，则(x2，y1)，由a可以得(1)，由b可以得(2).【自主解答】设所求直线上任意一点P(x，y)，A(2,1)，(x2，y1).(1)由题意知a，(x2)13(y1)0，即x3y50，所求直线方程为x3y50.(2)由题意，知b，(x2)(1)(y1)20，即x2y40，所求

4、直线方程为x2y40.1.本题求解的关键是在所求直线上任取一点P(x，y)，从而得到向量的坐标.2.用向量方法解决解析几何问题的步骤：一是把解析几何问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量模型，通过向量运算解决问题；三是将结果还原为解析几何问题.再练一题2.已知点A(1,0)，直线l：y2x6，点R是直线l上的一点，若2，求点P的轨迹方程.【导学号：72010069】【解】设P(x，y)，R(x0，y0)，则(1,0)(x0，y0)(1x0，y0)，(x，y)(1,0)(x1，y).由2，得又点R在直线l：y2x6上，y02x06，由得x032x，代入得62(32x)2y，整理得y2x，即为点P的轨迹方程.向量在物理中的应用(1)一个质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F 1，F 2成60角且|F 1|2，|F 2|4，则|F 3|()A.6B.2C.2 D.2(2)某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为每小时2a千米时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向.【精彩点拨】(1)可利用F 1F 2F 30

5、分离F 3得F 3F 1F 2，平方可求|F 3|.(2)用相关向量表示行驶速度与风速，可利用三角形法则求解.【自主解答】(1)因为物体处于平衡状态，所以F 1F 2F 30，所以F 3(F 1F 2)，所以|F 3|F 1F 2|2.【答案】D(2)设a表示此人以每小时a千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为a，设实际风速为v，那么此时人感到的风速为va，设a，2a，v，因为，所以va，这就是感到由正北方向吹来的风速，因为，所以v2a.于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是.由题意：PBO45，PABO，BAAO，从而，POB为等腰直角三角形，所以POPBa，即|v|a，所以实际风速是每小时a千米的西北风.向量在物理中的应用：(1)求力向量、速度向量常用的方法：一般是向量几何化，借助于向量求和的平行四边形法则求解.(2)用向量方法解决物理问题的步骤：把物理问题中的相关量用向量表示；转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决；结果还原为物理问题.再练一题3.在静水中划船速度的大小是每分钟40 m，水流速度的大小是每分钟20 m，如果一小船从岸边O处出发

6、，沿着垂直于水流的航线到达对岸，则小船的行进方向应指向哪里？【解】如图所示，设向量的长度和方向表示水流速度的大小和方向，向量的长度和方向表示船在静水中速度的大小和方向，以，为邻边作平行四边形OACB，连接OC.依题意OCOA，BCOA20，OB40，BOC30.故船应向上游(左)与河岸夹角为60的方向行进.探究共研型向量的数量积在物理中的应用探究1向量的数量积与功有什么联系？【提示】物理上力作功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积，它的实质是向量的数量积.探究2用向量方法解决物理问题的一般步骤是什么？【提示】用向量理论讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：问题转化，即把物理问题转化为数学问题；建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题中.两个力F 1ij，F 24i5j作用于同一质点，使该质点从点A(20,15)移动到点B(7,0)(其中i，j分别是与x轴、y轴同方向的单位向量).求(1)F 1，F 2分别对该质点做的功；(2)F 1，F 2的合力F 对该质点做的功.【精彩点拨】向量

7、数量积的物理背景是做功问题，所以本题需将做功问题转化为求向量的数量积的问题.【自主解答】(720)i(015)j13i15j.(1)F 1做的功W1F 1sF 1(ij)(13i15j)28 J.F 2做的功W2F 2sF 2(4i5j)(13i15j)23 J.(2)F F 1F 25i4j，所以F 做的功WF sF (5i4j)(13i15j)5 J.1.求几个力的合力：可以用几何法，通过解三角形求边长及角，也可以用向量法求解.2.如果一个物体在力F 的作用下产生位移s，那么力F 所做的功W|F |s|cos ，其中是F 与s的夹角.由于力和位移都是向量，所以力所做的功就是力与位移的数量积.再练一题4.如图243所示，已知力F 与水平方向的夹角为30(斜向上)，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F 的作用在动摩擦因数0.02的水平面上运动了20 m，则力F 和摩擦力f 所做的功分别为多少？(|g|10 m/s2)图243【解】设木块的位移为s，则：WF s|F |s|cos 305020500(J).因为F 在竖直方向上的分力的大小为|F 1|F |sin 305025(N)，所以物体所受的支持力的大小为|F N|mg|F 1|8102555(N).所以摩擦力的大小为|f |F N|0.02551.1(N).又f 与s反向，所以f s|f |s|cos 1801.120(1)22(J).即F 与f 所做的功分别是500 J与22 J.1.过点M(2,3)，且垂直于向量u(2,1)的直线方程为()A.2xy70B.2xy70C.x2y40 D.x2y40【解析】设P(x，

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