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高中数学 2_3_1 2.3.2 数学归纳法 数学归纳法应用举例学案 新人教b版选修2-2

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  • 卖家[上传人]:bin****86
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    • 1、“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色,纪律是不能触碰的底线,政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线23.1数学归纳法23.2数学归纳法应用举例1了解数学归纳法的原理(重点、易混点)2掌握数学归纳法的步骤(难点)3能用数学归纳法证明一些简单的数学命题(难点)基础初探教材整理数学归纳法阅读教材P69P72,完成下列问题数学归纳法的定义一个与_相关的命题,如果(1)_;(2)在假设当_时命题也成立的前提下,推出当nk1时命题也成立,那么可以断定,这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立【答案】自然数(1)当n取第一个值n0时命题成立(2)nk(kN,且kn0)判断(正确的打“”,错误的打“”)(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法()(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.()(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可()【答案】(1)(2)(3)质疑手记预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1:解惑:疑问2:解惑:疑问3:解惑:小组合作型用数学归纳法证明等式(1)用数学归纳法证明等式123(n3)(nN)时,第一步验证

      2、n1时,左边应取的项是()A1B12C123D1234(2)用数学归纳法证明(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN),“从k到k1”左端增乘的代数式为_. 【导学号:05410051】【自主解答】(1)当n1时,左边应为1234,故选D.(2)令f(n)(n1)(n2)(nn),则f(k)(k1)(k2)(kk),f(k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2),所以2(2k1)【答案】(1)D(2)2(2k1)数学归纳法证题的三个关键点1验证是基础找准起点,奠基要稳,有些问题中验证的初始值不一定是1.2递推是关键数学归纳法的实质在于递推,所以从“k”到“k1”的过程中,要正确分析式子项数的变化关键是弄清等式两边的构成规律,弄清由nk到nk1时,等式的两边会增加多少项、增加怎样的项3利用假设是核心在第二步证明nk1成立时,一定要利用归纳假设,即必须把归纳假设“nk时命题成立”作为条件来导出“nk1”,在书写f(k1)时,一定要把包含f(k)的式子写出来,尤其是f(k)中的最后一项,这是数学归纳法的核心,不用归纳假设的证明就不是数学归纳法再练一题1下面四个判断中,正确的是

      3、()A式子1kk2kn(nN)中,当n1时,式子的值为1B式子1kk2kn1(nN)中,当n1时,式子的值为1kC式子1(nN)中,当n1时,式子的值为1D设f(n)(nN),则f(k1)f(k)【解析】A中,n1时,式子1k;B中,n1时,式子1;C中,n1时,式子1;D中,f(k1)f(k).故正确的是C.【答案】C用数学归纳法证明不等式(1)用数学归纳法证明不等式(n2,nN)的过程中,由nk推导nk1时,不等式的左边增加的式子是_(2)证明:不等式12(nN)【精彩点拨】(1)写出当nk时左边的式子,和当nk1时左边的式子,比较即可(2)在由nk到nk1推导过程中利用放缩法,在利用放缩时,注意放缩的度【自主解答】(1)当nk1时左边的代数式是,增加了两项与,但是少了一项,故不等式的左边增加的式子是.【答案】(2)当n1时,左边1,右边2,左边右边,不等式成立假设当nk(k1且kN)时,不等式成立,即12.则当nk1时,12.假设当nk(k2且kN)时不等式成立,即,那么当nk1时,.这就是说,当nk1时,不等式也成立由可知,原不等式对任意大于1的正整数都成立归纳猜想证明已知数列

      4、an的前n项和为Sn,其中an且a1.(1)求a2,a3;(2)猜想数列an的通项公式,并证明【精彩点拨】(1)令n2,3可分别求a2,a3.(2)根据a1,a2,a3的值,找出规律,猜想an,再用数学归纳法证明【自主解答】(1)a2,a1,则a2,类似地求得a3.(2)由a1,a2,a3,猜得:an.证明:当n1时,由(1)可知等式成立;假设当nk时猜想成立,即ak,那么,当nk1时,由题设an,得ak,ak1,所以Skk(2k1)akk(2k1),Sk1(k1)(2k1)ak1,ak1Sk1Sk(k1)(2k1)ak1.因此,k(2k3)ak1,所以ak1.这就证明了当nk1时命题成立由可知命题对任何nN都成立1“归纳猜想证明”的一般环节2“归纳猜想证明”的主要题型(1)已知数列的递推公式,求通项或前n项和(2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题,求使命题成立的参数值是否存在(3)给出一些简单的命题(n1,2,3,),猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题再练一题3已知函数yf(n)(nN),设f(1)2,且任意的n1,n2N,有f(n1n2)f(n1)f(n2)(1)求

      5、f(2),f(3),f(4)的值;(2)试猜想f(n)的解析式,并用数学归纳法给出证明【解】(1)因为f(1)2,f(n1n2)f(n1)f(n2),所以f(2)f(11)f(1)f(1)224,f(3)f(21)f(2)f(1)222238.f(4)f(31)f(3)f(1)2322416.(2)猜想:f(n)2n(nN)用数学归纳法证明如下:当n1时,f(1)212,所以猜想正确假设当nk(k1,kN)时猜想正确,即f(k)2k,那么当nk1时,f(k1)f(k)f(1)2k22k1,所以,当nk1时,猜想正确由知,对任意的nN,都有f(n)2n.探究共研型用数学归纳法证明整除性问题探究1数学归纳法的第一步n的初始值是否一定为1?【提示】不一定,如证明n边形的内角和为(n2)180时,第一个值为n03.探究2数学归纳法两个步骤之间有怎样的联系?【提示】第一步是验证命题递推的基础,第二步是论证命题递推的依据,这两个步骤缺一不可,只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就作出判断,可能得出不正确的结论因为单靠步骤(1),无法递推下去,即n取n0以后的数列命题是否正确,我们无法判定,同样只有步骤

      6、(2)而缺少步骤(1)时,也可能得出不正确的结论,缺少步骤(1)这个基础,假设就失去了成立的前提,步骤(2)也就没有意义了用数学归纳法证明:n3(n1)3(n2)3能被9整除(nN)【精彩点拨】在第二步时注意根据归纳假设进行拼凑【自主解答】(1)当n1时,13233336能被9整除,所以结论成立;(2)假设当nk(kN,k1)时结论成立,即k3(k1)3(k2)3能被9整除则当nk1时,(k1)3(k2)3(k3)3k3(k1)3(k2)3(k3)3k3k3(k1)3(k2)39k227k27k3(k1)3(k2)39(k23k3)因为k3(k1)3(k2)3能被9整除,9(k23k3)也能被9整除,所以(k1)3(k2)3(k3)3也能被9整除,即nk1时结论也成立由(1)(2)知命题对一切nN成立与正整数有关的整除性问题常用数学归纳法证明,证明的关键在于第二步中,根据归纳假设,将nk1时的式子进行增减项、倍数调整等变形,使之能与归纳假设联系起来.再练一题4用数学归纳法证明“n35n能被6整除”的过程中,当nk1时,对式子(k1)35(k1)应变形为_【解析】由nk成立推证nk1成立

      7、时必须用上归纳假设,(k1)35(k1)(k35k)3k(k1)6.【答案】(k35k)3k(k1)6构建体系1用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n2)”时,归纳奠基中n0的取值应为()A1B2C3D4【解析】边数最少的凸n边形为三角形,故n03.【答案】C2用数学归纳法证明1aa2an1(nN,a1),在验证n1成立时,左边所得的项为()A1B1aa2C1aD1aa2a3【解析】当n1时,n12,故左边所得的项为1aa2.【答案】B3用数学归纳法证明关于n的恒等式时,当nk时,表达式为1427k(3k1)k(k1)2,则当nk1时,表达式为_. 【导学号:05410052】【解析】当nk1时,应将表达式1427k(3k1)k(k1)2中的k更换为k1.【答案】1427k(3k1)(k1)(3k4)(k1)(k2)24以下是用数学归纳法证明“nN时,2nn2”的过程,证明:(1)当n1时,2112,不等式显然成立(2)假设当nk(kN)时不等式成立,即2kk2.那么,当nk1时,2k122k2k2kk2k2k22k1(k1)2.即当nk1时不等式也成立根据(1)和(2),可知对任何nN不等式都成立其中错误的步骤为_(填序号)【解析】在2k122k2k2kk2k2k22k1中用了k22k1,这是一个不确定的结论如k2时,k22k1.【答案】(2)5用数学归纳法证明:对于任意正整数n,(n21)2(n222)n(n2n2).【证明】(1)当n1时,左边1210,右边0,所以

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