高中数学 2_3_1 2.3.2 数学归纳法 数学归纳法应用举例学案 新人教b版选修2-2
14页1、“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色,纪律是不能触碰的底线,政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线23.1数学归纳法23.2数学归纳法应用举例1了解数学归纳法的原理(重点、易混点)2掌握数学归纳法的步骤(难点)3能用数学归纳法证明一些简单的数学命题(难点)基础初探教材整理数学归纳法阅读教材P69P72,完成下列问题数学归纳法的定义一个与_相关的命题,如果(1)_;(2)在假设当_时命题也成立的前提下,推出当nk1时命题也成立,那么可以断定,这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立【答案】自然数(1)当n取第一个值n0时命题成立(2)nk(kN,且kn0)判断(正确的打“”,错误的打“”)(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法()(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.()(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可()【答案】(1)(2)(3)质疑手记预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1:解惑:疑问2:解惑:疑问3:解惑:小组合作型用数学归纳法证明等式(1)用数学归纳法证明等式123(n3)(nN)时,第一步验证
2、n1时,左边应取的项是()A1B12C123D1234(2)用数学归纳法证明(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN),“从k到k1”左端增乘的代数式为_. 【导学号:05410051】【自主解答】(1)当n1时,左边应为1234,故选D.(2)令f(n)(n1)(n2)(nn),则f(k)(k1)(k2)(kk),f(k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2),所以2(2k1)【答案】(1)D(2)2(2k1)数学归纳法证题的三个关键点1验证是基础找准起点,奠基要稳,有些问题中验证的初始值不一定是1.2递推是关键数学归纳法的实质在于递推,所以从“k”到“k1”的过程中,要正确分析式子项数的变化关键是弄清等式两边的构成规律,弄清由nk到nk1时,等式的两边会增加多少项、增加怎样的项3利用假设是核心在第二步证明nk1成立时,一定要利用归纳假设,即必须把归纳假设“nk时命题成立”作为条件来导出“nk1”,在书写f(k1)时,一定要把包含f(k)的式子写出来,尤其是f(k)中的最后一项,这是数学归纳法的核心,不用归纳假设的证明就不是数学归纳法再练一题1下面四个判断中,正确的是
3、()A式子1kk2kn(nN)中,当n1时,式子的值为1B式子1kk2kn1(nN)中,当n1时,式子的值为1kC式子1(nN)中,当n1时,式子的值为1D设f(n)(nN),则f(k1)f(k)【解析】A中,n1时,式子1k;B中,n1时,式子1;C中,n1时,式子1;D中,f(k1)f(k).故正确的是C.【答案】C用数学归纳法证明不等式(1)用数学归纳法证明不等式(n2,nN)的过程中,由nk推导nk1时,不等式的左边增加的式子是_(2)证明:不等式12(nN)【精彩点拨】(1)写出当nk时左边的式子,和当nk1时左边的式子,比较即可(2)在由nk到nk1推导过程中利用放缩法,在利用放缩时,注意放缩的度【自主解答】(1)当nk1时左边的代数式是,增加了两项与,但是少了一项,故不等式的左边增加的式子是.【答案】(2)当n1时,左边1,右边2,左边右边,不等式成立假设当nk(k1且kN)时,不等式成立,即12.则当nk1时,12.假设当nk(k2且kN)时不等式成立,即,那么当nk1时,.这就是说,当nk1时,不等式也成立由可知,原不等式对任意大于1的正整数都成立归纳猜想证明已知数列
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