高中数学 2_3_1 2.3.2 向量数量积的运算律学案 新人教b版必修4
14页1、“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色,纪律是不能触碰的底线,政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线2.3.1向量数量积的物理背景与定义2.3.2向量数量积的运算律1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.(难点)2.体会平面向量的数量积与向量射影的关系.3.掌握数量积的运算性质,并会利用其性质解决有关长度、夹角、垂直等问题.(重点)基础初探教材整理1两个向量的夹角阅读教材P107内容,完成下列问题.1.已知两个非零向量a,b,作a,b,则AOB称作向量a和向量b的夹角,记作a,b,并规定0a,b,并且有a,bb,a.2.当a,b时,我们说向量a和向量b互相垂直,记作ab.在讨论垂直问题时,规定零向量与任意向量垂直.3.当a,b0时,a与b同向;当a,b时,a与b反向;当a,b或a与b中至少有一个为零向量时,ab.如图231,在ABC中,的夹角与,的夹角的关系为_.图231【解析】根据向量夹角定义可知向量,夹角为BAC,而向量,夹角为BAC,故二者互补.【答案】互补教材整理2向量在轴上的正射影阅读教材P108“例1”以上内容,完成下列问题.已知向量a和
2、轴l如图232.作a,过点O,A分别作轴l的垂线,垂足分别为O1,A1,则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影),该射影在轴l上的坐标,称做a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量.图232a在轴l上正射影的坐标记作al,向量a的方向与轴l的正向所成的角为,则由三角函数中的余弦定义有al|a|cos .已知|a|3,向量a与b的夹角为,则a在b方向上的投影为()A. B. C. D.【解析】向量a在b方向上的投影为|a|cos 3cos .故选D.【答案】D教材整理3数量积的定义及性质和运算律阅读教材P108“例1”下P110内容,完成下列问题.1.向量的数量积(内积)的定义:|a|b|cosa,b叫做向量a和b的数量积(或内积),记作ab,即ab|a|b|cosa,b.由定义知,两个向量a与b的内积是一个实数,可以等于正数、负数、零.2.平面向量数量积的性质:(1)如果e是单位向量,则aeea|a|cosa,e;(2)abab0;(3)aa|a|2即|a|;(4)cosa,b(|a|b|0);(5)|ab|a|b|.3.平面向量数量积的运算律:(1)交换律:abba;(2)分配律:
3、(ab)cacbc;(3)数乘向量结合律:对任意实数,有(ab)(a)ba(b).已知点A,B,C满足|3,|4,|5,则的值是()A.25 B.25C.24 D.24【解析】因为|2|291625|2,所以ABC90,所以原式()0225.【答案】A质疑手记预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1:_解惑:_疑问2:_解惑:_疑问3:_解惑:_疑问4:_解惑:_小组合作型与向量数量积有关的概念(1)以下四种说法中正确的是_.(填序号)如果ab0,则a0或b0;如果向量a与b满足ab0,则a与b所成的角为钝角;ABC中,如果0,那么ABC为直角三角形;如果向量a与b是两个单位向量,则a2b2.(2)已知|a|3,|b|5,且ab12,则a在b方向上的投影为_,b在a方向上的投影为_.(3)已知等腰ABC的底边BC长为4,则_.【精彩点拨】根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答.【自主解答】(1)由数量积的定义知ab|a|b|cos (为向量a,b的夹角).若ab0,则90或a0或b0,故错;若ab0,则为钝角或180,故错;由0知B90,故ABC为直角三角
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