高中数学 2_2_2 反证法学案 新人教b版选修2-2
12页1、“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色,纪律是不能触碰的底线,政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线2.2.2反证法1了解反证法的思考过程、特点(重点、易混点)2会用反证法证明简单的数学问题(重点、难点)基础初探教材整理反证法阅读教材P66P67“例3”以上部分,完成下列问题1反证法的定义由证明pq转向证明:綈qrt,t与_矛盾,或与某个_矛盾,从而判定_,推出_的方法,叫做反证法2常见的几种矛盾(1)与假设矛盾;(2)与_、定理、公式、定义或_矛盾;(3)与_矛盾(例如,导出01,00之类的矛盾)【答案】1假设真命题綈q为假q为真2(2)数学公理已被证明了的结论(3)公认的简单事实1判断(正确的打“”,错误的打“”)(1)反证法属于间接证明问题的方法()(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理()(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾()【答案】(1)(2)(3)2已知平面平面直线a,直线b,直线c,baA,ca,求证:b与c是异面直线,若利用反证法证明,则应假设_【解析】空间中两直线的位置关系有3种:异面、平行、相交,应假设b与c平
2、行或相交【答案】b与c平行或相交质疑手记预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1:解惑:疑问2:解惑:疑问3:解惑:小组合作型利用反证法证明否定性命题(1)用反证法证明:“若方程ax2bxc0,且a,b,c都是奇数,则方程没有整数根”,正确的假设是方程存在实数根x0为()A整数B奇数或偶数C自然数或负整数D正整数或负整数(2)已知三个正整数a,b,c成等比数列,但不成等差数列,求证:, , 不成等差数列【自主解答】(1)要证明的结论是“方程没有整数根”,故应假设:方程存在实数根x0为整数,故选A.【答案】A(2)证明:假设, , 成等差数列,则2,即ac24b.又a,b,c成等比数列,所以b2ac,即b,所以ac24,所以ac20,即()20,所以,从而abc,所以a,b,c可以成等差数列,这与已知中“a,b,c不成等差数列”相矛盾原假设错误,故, , 不成等差数列1用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题,此类问题的正面比较模糊,而反面比较具体,适合使用反证法2反证法证明问题的一般步骤再练一题1(20
3、16晋州高二检测)设数列an是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和求证:数列Sn不是等比数列【证明】假设数列Sn是等比数列,则SS1S3,即a(1q)2a1a1(1qq2),因为a10,所以(1q)21qq2,即q0,这与公比q0矛盾所以数列Sn不是等比数列利用“反证法”“证明”“至少”“至多”等存在性命题已知a,b,c(0,1),求证:(1a)b,(1b)c,(1c)a不能都大于.【精彩点拨】“不能都大于”的含义为“至少有一个小于或等于”其对立面为“全部大于”【自主解答】假设(1a)b,(1b)c,(1c)a都大于.a,b,c(0,1),1a0,1b0,1c0.同理,.三式相加得,即,矛盾所以(1a)b,(1b)c,(1c)a不能都大于.应用反证法常见的“结论词”与“反设词”当命题中出现“至多”“至少”等词语时,直接证明不易入手且讨论较复杂这时,可用反证法证明,证明时常见的“结论词”与“反设词”如下:结论词反设词结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x0不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x0成立至少有n个至多有n1个p或q綈p且綈q至多有n个至少有n1个
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