高中数学 2_1_5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算学案 新人教b版必修4

1、“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算1.掌握平行向量基本定理并理解两向量共线的条件及单位向量的含义.(重点)2.理解轴上的基向量、向量的坐标及其运算公式，并解决轴上的相关问题.(难点)基础初探教材整理1平行向量基本定理阅读教材P90“例1”以上内容，完成下列问题.1.平行向量基本定理：如果ab，则ab；反之，如果ab，且b0，则一定存在唯一一个实数，使ab.2.单位向量：给定一个非零向量a，与a同方向且长度等于1的向量，叫做向量a的单位向量，如果a的单位向量记作a0，由数乘向量的定义可知：a|a|a0或a0.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若b与a共线，则存在实数，使得ba.()(2)任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点.()(3)向量a与b不共线，则a与b都是非零向量.()(4)有相同起点的两个非零向量不平行.()【答案】(1)(2)(3)(4)教材整理2轴上向量的坐标及其运算阅读教材P91“例2”以下P92“例3”

2、以上内容，完成下列问题.1.规定了方向和长度单位的直线叫做轴.已知轴l，取单位向量e，使e的方向与l同方向.根据向量平行的条件，对轴上任意向量a，一定存在唯一实数x，使axe.反过来，任意给定一个实数x，我们总能作一个向量axe，使它的长度等于这个实数x的绝对值，方向与实数的符号一致.单位向量e叫做轴l的基向量，x叫做a在l上的坐标(或数量).2.x的绝对值等于a的长，当a与e同方向时，x是正数，当a与e反方向时，x是负数.实数与轴上的向量建立起一一对应关系.3.向量相等与两个向量的和：设ax1e，bx2e，于是：如果ab，则x1x2；反之，如果x1x2，则ab；另外，ab(x1x2)e，这就是说，轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等；轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和.4.向量的坐标常用AB表示，则ABe.表示向量，而AB表示数量，且有ABBA0.5.轴上向量的坐标：在数轴x上，已知点A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则ABx2x1，即轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标.6.数轴上两点的距离公式：在数轴x上，点A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则|AB|x2x1

3、|.数轴上点A，B，C的坐标分别为1,1,5，则下列结论错误的是()A.的坐标是2B.3C.的坐标是4 D.2【解析】答案C不正确.故选C.【答案】C质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_疑问4：_解惑：_小组合作型平行向量基本定理的应用如图2131所示，已知在ABCD中，点M为AB的中点，点N在BD上，且3BNBD.求证：M，N，C三点共线.【导学号：72010051】图2131【精彩点拨】利用向量的运算法则将，两向量分别用，表示出来，再利用平行向量基本定理判定，共线，从而证明M，N，C三点共线.【自主解答】设a，b，则ab，ab，a，b，ab，aab，又M为公共点，M、N、C三点共线.平行向量基本定理有两个方面的应用：(1)一个向量可以由另一个向量线性表示，则可以判定两向量平行，进而证明三点共线，三角形相似，两线段平行以及用来判断图形的形状等.(2)若两向量平行，则一个向量可以由另一个非零向量线性表示，可以用来求参数，它是轴上向量坐标化的依据.再练一题1.已知任意两个非零向量a，b，作ab，a2b，a3

4、b.试判断A，B，C三点之间的位置关系，并说明理由.【解】因为(a2b)(ab)b，(a3b)(ab)2b，故有2.所以，且有公共点A，所以A，B，C三点共线.用平行向量基本定理证明几何问题已知梯形ABCD中，ABDC，E，F 分别是AD，BC的中点，求证：EF ABDC.图2132【精彩点拨】解题时首先结合图形与所证问题，把几何条件转化为向量条件，然后利用向量的线性运算与平行向量基本定理求证.【自主解答】延长EF 到M，使EF F M，连接CM，BM，EC，EB，得ECMB，由平形四边形法则得().由于ABDC，所以，共线且同向，根据平行向量基本定理，存在正实数，使.由三角形法则得，且0，()()()，.由于E，D不共点，EF DCAB.1.用平行向量基本定理证直线平行或三点共线时，关键是把一个向量用有关向量线性表示，同时有机地结合向量的线性运算及图形完成证明.2.用向量法证明几何问题的一般步骤是：首先用向量表示几何关系，然后进行向量运算，得到新的适合题目要求的向量关系，最后将向量关系还原为几何关系.再练一题2.(2016石家庄高一检测)已知e，f 为两个不共线的向量，若四边形ABC

5、D满足e2f ，4ef ，5e3f .(1)将用e，f 表示；(2)证明四边形ABCD为梯形.【解】(1)根据向量求和的多边形法则，有(e2f )(4ef )(5e3f )(145)e(213)f 8e2f .(2)证明：因为8e2f 2(4ef )2，即2.所以，且的长度为的长度的2倍，所以在四边形ABCD中，ADBC，且ADBC，所以四边形ABCD为梯形.轴上向量的坐标及其运算已知数轴上四点A，B，C，D的坐标分别是4，2，c，d.(1)若AC5，求c的值；(2)若|BD|6，求d的值.(3)若3，求证：34.【精彩点拨】解答本题首先据条件表示出两点所对应的向量的坐标，然后求解.【自主解答】(1)AC5，c(4)5，c1.(2)|BD|6，|d(2)|6，即d26或d26，d4或d8.(3)因为，而3AD，所以(3)4，所以312，又44(3)12，故34.正确理解和运用轴上向量的坐标及长度计算公式是学习其他向量计算的基础；解答本题首先利用数轴上点的坐标，计算出两点所对应向量的坐标，特别要注意向量坐标运算公式的顺序，还要注意模运算中可能会出现的两种情形.再练一题3.已知数轴上A、B

6、两点的坐标为x1，x2，求，的坐标和长度.(1)x12，x25.3；(2)x110，x220.5.【解】(1)x12，x25.3，AB5.327.3，BA2(5.3)7.3.|7.3，|7.3.(2)同理AB10.5，BA10.5.|10.5，|10.5.探究共研型向量共线问题探究1已知m，n是不共线向量，a3m4n，b6m8n，判断a与b是否共线？【提示】要判断两向量是否共线，只需看是否能找到一个实数，使得ab即可.若a与b共线，则存在R，使ab，即3m4n(6m8n).m，n不共线，不存在同时满足此方程组，a与b不共线.探究2已知e1，e2是共线向量，a3e14e2，b6e18e2，则a与b是否共线？【提示】e1，e2共线，存在R，使e1e2.a3e14e23e24e2(34)e2，b6e18e26e28e2(68)e2，ab，a与b共线.当时，b0，a与b共线.探究3设两非零向量e1和e2不共线，是否存在实数k，使ke1e2和e1ke2共线？【提示】设ke1e2与e1ke2共线，存在使ke1e2(e1ke2)，则(k)e1(k1)e2.e1与e2不共线，只能有则k1.已知非零向量

7、e1，e2不共线.如果Ae1e2，B2e18e2，C3(e1e2)，求证A，B，D三点共线.【精彩点拨】欲证A，B，D共线，只需证存在实数，使BA即可.【自主解答】Ae1e2，BBC2e18e23e13e25(e1e2)5A，A，B共线，且有公共点B，A，B，D三点共线.1.本题充分利用了向量共线定理，即b与a(a0)共线ba，因此用它既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值.2.向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线.再练一题4.设两个非零向量e1，e2不共线，已知2e1ke2，e13e2，2e1e2.问：是否存在实数k，使得A，B，D三点共线，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.【解】设存在kR，使得A，B，D三点共线，(e13e2)(2e1e2)e14e2，2e1ke2.又A，B，D三点共线，2e1ke2(e14e2)，k8，所以存在k8，使得A，B，D三点共线.1.以下选项中，a与b不一定共线的是()A.a5e1e2，b2e210e1B.a4e1e2，be1e2C.ae12e2，be22e1D.a3e13e2，b2e12e2【解析】只有C选项不一定共线.【答案】C2.已知数轴上两点A、B的坐标分别是4，1，则AB与|分别是()A.3,3B.3,3C.3，3 D.6,6【解析】AB1(4)3，|3.【答案】B3.如图2133所示，已知3，3，则向量与的关系为()图2133A.共线B.同向C.共线且同向D.共线、同

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