高中数学 1_3_2 杨辉三角学案 新人教b版选修2-3

1、“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线1.3.2杨辉三角1.使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其中的规律.(难点)2.掌握二项式系数的性质及其应用.(重点)3.掌握“赋值法”并会灵活运用.基础初探教材整理1杨辉三角阅读教材P29，完成下列问题.杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等.(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即CCC.1.如图131是一个类似杨辉三角的图形，则第n行的首尾两个数均为_.13356571111791822189图131【解析】由1,3,5,7,9，可知它们成等差数列，所以an2n1.【答案】2n12.如图132，由二项式系数构成的杨辉三角中，第_行从左到右第14与第15个数之比为23.111121133114641图132【解析】设第n行从左到右第14与第15个数之比为23，则3C2C，即，解得n34.【答案】34教材整理2二项式系数的性质阅读教材P29后半部分，完成下列问题.1

2、.每一行的两端都是1，其余每个数都等于它“肩上”两个数的和.2.每一行中，与首末两端“等距离”的两个数相等.3.如果二项式的幂指数n是偶数，那么其展开式中间一项T1的二项式系数最大；如果n是奇数，那么其展开式中间两项T与T1的二项式系数相等且最大.4.二项展开式的二项式系数的和等于2n.1.已知(ab)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于_.【解析】因为只有第5项的二项式系数最大，所以15，所以n8.【答案】82.已知(ax1)n的展开式中，二项式系数和为32，则n等于_. 【导学号：62980026】【解析】二项式系数之和为CCC2n32，所以n5.【答案】53.(2x1)10展开式中x的奇次幂项的系数之和为_.【解析】因为(2x1)10a0a1xa2x2a10x10，令x1，得a0a1a2a101，再令x1，得310a0a1a2a3a10，两式相减，可得a1a3a9.【答案】质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型与“杨辉三角”有关的问题如图133，在“杨辉三角”中斜线AB的上方，从1

3、开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，.记其前n项和为Sn，求S19的值.图133【精彩点拨】由图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，第17项是C，第18项是C，第19项是C.【自主解答】S19(CC)(CC)(CC)(CC)C(CCCC)(CCCC)(23410)C220274.“杨辉三角”问题解决的一般方法观察分析；试验猜想；结论证明，要得到杨辉三角中蕴含的诸多规律，取决于我们的观察能力，观察能力有：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察.如表所示：再练一题1.(2016南充高二检测)如图134所示，满足如下条件：第n行首尾两数均为n；表中的递推关系类似“杨辉三角”.则第10行的第2个数是_，第n行的第2个数是_.图134【解析】由图表可知第10行的第2个数为：(1239)146，第n行的第2个数为：123(n1)11.【答案】46求展开式的系数和设(12x)2 017a0a1xa2x2a2 017x2 017(xR).(1)求a0a1a2a2 017的值；(2)求a1a3a5a2 017的值；(3)求|a0|a1|a2

4、|a2 017|的值.【精彩点拨】先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解.【自主解答】(1)令x1，得a0a1a2a2 017(1)2 0171.(2)令x1，得a0a1a2a2 01732 017.得2(a1a3a2 017)132 017，a1a3a5a2 017.(3)Tr1C(2x)r(1)rC (2x)r，a2k10(kN)，a2k0(kN).|a0|a1|a2|a3|a2 017|a0a1a2a3a2 01732 017.1.解决二项式系数和问题思维流程.2.“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值.一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x0可得常数项，令x1可得所有项系数之和，令x1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差.再练一题2.若(3x1)7a7x7a6x6a1xa0，求：(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6.【解】(1)令x0，则a01；令x1，得a7a6a1a027128，所以a1a2a7129.(2)令x1，得a7a6a5a4a3a2a1a0(4)7，由得2(a1a3a5a

5、7)128(4)7，a1a3a5a78 256.(3)由得2(a0a2a4a6)128(4)7，a0a2a4a68 128.探究共研型二项式系数性质的应用探究1根据杨辉三角的特点，在杨辉三角同一行中与两个1等距离的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？【提示】对称性，因为CC，也可以从f(r)C的图象中得到.探究2计算，并说明你得到的结论.【提示】.当k1，说明二项式系数逐渐增大；同理，当k时，二项式系数逐渐减小.探究3二项式系数何时取得最大值？【提示】当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项Cn，Cn相等，且同时取得最大值.已知f(x)(3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项.【精彩点拨】求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x，y的系数均考虑进去，包括“”“”号.【自主解答】令x1，则二项式各项系数的和为f(1)(13)n4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n2n992.(2n

6、)22n9920，(2n31)(2n32)0，2n31(舍去)或2n32，n5.(1)由于n5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T3C(x)3(3x2)290x6，T4C(x)2(3x2)3270x.(2)展开式的通项公式为Tr1C3rx(52r).假设Tr1项系数最大，则有r，rN，r4.展开式中系数最大的项为T5Cx(3x2)4405x.1.求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.2.求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得.再练一题3.已知(a21)n展开式中的各项系数之和等于5的展开式的常数项，而(a21)n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值. 【导学号：62980027】【解】由5，得Tr1C5rr5rCx，令Tr1为常数项，则205r0，所以r4，常数项T5C16.又(a21)n展开式中的各项系数之和等于2n，由此得到2n16，n4.所以(a21)4展开式中系数最大项是中间项T3C

7、a454，所以a.构建体系1.(1x)2n1的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是()A.n，n1B.n1，nC.n1，n2D.n2，n3【解析】该展开式共2n2项，中间两项为第n1项与第n2项，所以第n1项与第n2项为二项式系数最大的项.【答案】C2.已知C2C22C2nC729，则CCC的值等于() 【导学号：62980028】A.64B.32 C.63D.31【解析】C2C2nC(12)n3n729，n6，CCC32.【答案】B3.若(x3y)n的展开式中各项系数的和等于(7ab)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为_.【解析】(7ab)10的展开式中二项式系数的和为CCC210，令(x3y)n中xy1，则由题设知，4n210，即22n210，解得n5.【答案】54.已知(ax)5a0a1xa2x2a5x5，若a280，则a0a1a2a5_.【解析】(ax)5展开式的通项为Tr1(1)rCa5rxr，令r2，得a2(1)2Ca380，解得a2，即(2x)5a0a1xa2x2a5x5，令x1，得a0a1a2a51.【答案】15.在8的展开式中，(1)求系数的绝对值最大的项；(2)求二项式系数最大的项；(3)求系数最大的项；(4)求系数最小的项.【解】Tr1C()8rr(1)rC2rx4.(1)设第r1项系数的绝对值最大.则解得5r6.故系数绝对值最大的项是第6项和第7项.(2)二项式系数最大

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