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高中数学 1_3_1 二项式定理学案 新人教b版选修2-3

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    • 1、“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色,纪律是不能触碰的底线,政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线1.3.1二项式定理1.会证明二项式定理.(难点)2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.(重点)基础初探教材整理二项式定理阅读教材P26P27例1以上部分,完成下列问题.二项式定理及相关的概念二项式定理概念公式(ab)nCanCan1bCan2b2CanrbrCbn(nN)称为二项式定理二项式系数各项系数C(r0,1,2,n)叫做展开式的二项式系数二项式通项Canrbr是展开式中的第r1项,可记做Tr1Canrbr(其中0rn,rN,nN)二项展开式CanCan1bCan2b2CanrbrCbn(nN)备注在二项式定理中,如果设a1,bx,则得到公式(1x)n1CxCx2CxrCxn(nN)判断(正确的打“”,错误的打“”)(1)(ab)n展开式中共有n项.()(2)在公式中,交换a,b的顺序对各项没有影响.()(3)Canrbr是(ab)n展开式中的第r项.()(4)(ab)n与(ab)n的二项式展开式的二项式系数相同.()【解析】(1)因为(ab)

      2、n展开式中共有n1项.(2)因为二项式的第r1项Canrbr和(ba)n的展开式的第k1项Cbnrar是不同的,其中的a,b是不能随便交换的.(3)因为Canrbr是(ab)n展开式中的第r1项.(4)因为(ab)n与(ab)n的二项式展开式的二项式系数都是C.【答案】(1)(2)(3)(4)质疑手记预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1: 解惑: 疑问2: 解惑: 疑问3: 解惑: 小组合作型二项式定理的正用、逆用(1)用二项式定理展开5;(2)化简:C(x1)nC(x1)n1C(x1)n2(1)rC(x1)nr(1)nC.【精彩点拨】(1)二项式的指数为5,且为两项的和,可直接按二项式定理展开;(2)可先把x1看成一个整体,分析结构形式,逆用二项式定理求解.【自主解答】(1)5C(2x)5C(2x)4C532x5120x2.(2)原式C(x1)nC(x1)n1(1)C(x1)n2(1)2C(x1)nr(1)rC(1)n(x1)(1)nxn.1.展开二项式可以按照二项式定理进行.展开时注意二项式定理的结构特征,准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件.2.对

      3、较复杂的二项式,有时先化简再展开会更简便.3.对于化简多个式子的和时,可以考虑二项式定理的逆用.对于这类问题的求解,要熟悉公式的特点,项数,各项幂指数的规律以及各项的系数.再练一题1.(1)求4的展开式;(2)化简:12C4C2nC.【解】(1)法一:4C(3)4C(3)3C(3)22C(3)3C481x2108x54.法二:4(81x4108x354x212x1)81x2108x54.(2)原式12C22C2nC(12)n3n.二项式系数与项的系数问题(1)求二项式6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数;(2)求9的展开式中x3的系数.【精彩点拨】利用二项式定理求展开式中的某一项,可以通过二项展开式的通项公式进行求解.【自主解答】(1)由已知得二项展开式的通项为Tr1C(2)6rr(1)rC26rx3 r,T612x.第6项的二项式系数为C6,第6项的系数为C(1)212.(2)Tr1Cx9rr(1)rCx92r,92r3,r3,即展开式中第四项含x3,其系数为(1)3C84.1.二项式系数都是组合数C(r0,1,2,n),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等,要注意区分“二

      4、项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念.2.第r1项的系数是此项字母前的数连同符号,而此项的二项式系数为C.例如,在(12x)7的展开式中,第四项是T4C173(2x)3,其二项式系数是C35,而第四项的系数是C23280.再练一题2.(12x)n的展开式中第六项与第七项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.【解】T6C(2x)5,T7C(2x)6,依题意有C25C26n8.(12x)n的展开式中,二项式系数最大的项为T5C(2x)41 120x4.设第r1项系数最大,则有5r6.r5或r6(r0,1,2,8).系数最大的项为T61 792x5,T71 792x6.探究共研型求展开式中的特定项探究1如何求4展开式中的常数项.【提示】利用二项展开式的通项Cx4rCx42r求解,令42r0,则r2,所以4展开式中的常数项为C6.探究2(ab)(cd)展开式中的每一项是如何得到的?【提示】(ab)(cd)展开式中的各项都是由ab中的每一项分别乘以cd中的每一项而得到.探究3如何求(2x1)3展开式中含x的项?【提示】(2x1)3展开式中含x的项是由x中的x与分别与

      5、(2x1)3展开式中常数项C1及x2项C22x212x2分别相乘再把积相加得xCC(2x)2x12x13x.即(2x1)3展开式中含x的项为13x.已知在n的展开式中,第6项为常数项.(1)求n;(2)求含x2项的系数;(3)求展开式中所有的有理项.【精彩点拨】【自主解答】通项公式为:Tr1Cx(3)rxC(3)rx.(1)第6项为常数项,r5时,有0,即n10.(2)令2,得r(106)2,所求的系数为C(3)2405.(3)由题意得,令k(kZ),则102r3k,即r5k.rZ,k应为偶数,k2,0,2即r2,5,8,所以第3项,第6项与第9项为有理项,它们分别为405x2,61 236,295 245x2.1.求二项展开式的特定项的常见题型(1)求第k项,TrCanr1br1;(2)求含xr的项(或xpyq的项);(3)求常数项;(4)求有理项.2.求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项,隐含条件是字母的指数为0(即0次项);(2)对于有理项,一般是先写出通项公式,其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,

      6、再根据数的整除性来求解;(3)对于二项展开式中的整式项,其通项公式中同一字母的指数应是非负整数,求解方式与求有理项一致.再练一题3.(1)在(1x3)(1x)10的展开式中,x5的系数是_.(2)若6展开式的常数项为60,则常数a的值为_. 【导学号:62980023】【解析】(1)x5应是(1x)10中含x5项、含x2项分别与1,x3相乘的结果,其系数为CC(1)207.(2)6的展开式的通项是Tr1Cx6r()rx2rCx63r()r,令63r0,得r2,即当r2时,Tr1为常数项,即常数项是Ca,根据已知得Ca60,解得a4.【答案】(1)207(2)4构建体系1.在(x)10的展开式中,含x6的项的系数是()A.27CB.27CC.9CD.9C【解析】含x6的项是T5Cx6()49Cx6.【答案】D2.在8的展开式中常数项是()A.28B.7C.7D.28【解析】Tr1C8rr(1)rC8rx8r,当8r0,即r6时,T7(1)6C27.【答案】C3.在6的展开式中,中间项是_.【解析】由n6知中间一项是第4项,因T4C(2x2)33C(1)323x3,所以T4160x3.【答案】160x34.在9的展开式中,第4项的二项式系数是_,第4项的系数是_. 【导学号:62980024】【解析】Tr1C(x2)9rrrCx183r,当r3时,T43Cx9x9,所以第4项的二项式系数为C84,项的系数为.【答案】845.求5的展开式的第三项的系数和常数项.【解】T3C(x3)32Cx5,所以第三项的系数为C.通项Tr1C(x3)5rrrCx155r,令155r0,得r3,所以常数项为T4C(x3)23.我还有这些不足:(1) (2) 我的课下提升方案:(1) (2) 学业分层测评(建议用时:45分钟)学业达标一、选择题1.设S(x1)33(x1)23(x1)1,则S等于()A.(x1)3B.(x2)3C.x3D.(x1)3【解析】S(x1)13x3.【答案】C2.已知7 的展开式的第4项等于5,则x等于()A.B.C.7D.7【解析】T4Cx435,则x.【答案】B3.若对于任意实数x,有x3a0a1(x2)a2(x2)2a3(x2)3,则a2

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