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【新步步高】2016-2017学年高二数学苏教版必修5 1.1正弦定理(一)课件

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  • 卖家[上传人]:小**
  • 文档编号:60869022
  • 上传时间:2018-11-19
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    • 1、1.1 正弦定理(一),第1章 解三角形,目标定位,难点:已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数.,学习目标,1. 掌握正弦定理的内容;,2. 掌握正弦定理的证明方法;,3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题,重、难点,重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用.,学习目标和重难点,知识链接,问题1. 在一个三角形中,有几个角?有几条边?,三角形中的边角关系,问题2. 在一个三角形中,三个内角有怎样的数量关系?三条边 有怎样的数量关系?,问题3. 在一个三角形中,边与角有怎样的数量关系?,【答案】 三个角,三条边,【答案】 三个内角和等于180;三条边满足:任意两边 之和大于第三边,任意两边只差小于第三边.,【答案】 大边对大角,自主探究,1. 正弦定理:,3. 解三角形:,(一)要点识记,2. 三角形的元素:,在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 = = =2R,一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.,已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形,自主探究,对定理的证明,教材用_方法证明了直角三角形和锐角三角形的情况,为证

      2、明任意三角形中的正弦定理,还需要证明_三角形的情况.,(二)深层探究,2. 请给出上述情况下的定理的证明.,等高法,钝角三角形,自主探究,(二)深层探究,证明:当是钝角三角形时,设为钝角,边上的高为,如图,则在Rt中,=sin;,又 在Rt中,= sin = sin ., sin=sin ,变形即得 sin = sin,同理, sin = sin, 在钝角中, sin = sin = sin,自主探究,3. 正弦定理可以解决哪几种三角形问题?,(二)深层探究,4. 正弦定理有哪些变形?,答:(1)两角任一边;(2)两边一对角,变式2:sinA a 2R ,sinB b 2R ,sinC c 2R .,答:变式1:a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC.,变式3:a:b:csinA:sinB:sinC.,自主探究,(三)拓展探究,1. 你能用外接圆法证明正弦定理吗?,证明:当 ABC 是直角三角形时,作它的外接圆O,则AB是圆O的直径,如图,并设其半径为R.,由圆的性质知易得 a sinA = b sinB = c sinC =2R,自主探究,(三)拓展探究,当ABC为锐角三角形

      3、时,作 ABC的外接圆O,如图,并设其半径为R,过点A作圆O的直径AD,连接CD,如图. 则由圆的性质易得ABC=ADC,ACDC.,同理, a sinA =2R, c sinC =2R, sinABC=sinADC,又 在 RtACD中,sinADC= AC AD = b 2R, sinABC= b 2R ,即在ABC中, b sinB =2R, 在锐角ABC中 a sinA = b sinB = c sinC =2R,自主探究,(三)拓展探究,当ABC为钝角三角形时,作ABC的外接圆O,并设其半径为R,过点B作圆O的直径BD,连接CD,如图.,由四边形及圆的性质易得 A 180D, a sinA = a sin(180D) = a sinD =2R, 在钝角ABC中 a sinA = b sinB = c sinC =2R成立,综上所述,对任意ABC,都有 a sinA = b sinB = c sinC =2R .,自主探究,(三)拓展探究,2. 你能用正弦定理解释 “大边对大角”吗?,答:在ABC中,不妨设a b,则由正弦定理得2RsinA2RsinB,即sinAsinB.,

      4、若A,B 都是锐角,因为正弦函数y = sinx在区间 0, 2 上单调递增,所以 A B;, 若A是锐角,B是钝角,显然有A B;,自主探究,(三)拓展探究, 若A是钝角,B是锐角,则 A + B,即0BA 2 , sinB sin A =sinA,与 sinAsinB矛盾,即该情形不成立.,综上所述:任意ABC中,若a b,则A B,即大边对大角.,所以,正弦定理非常好地描述了任意三角形中“边”与“角”的一种准确的数量关系.,典例突破,两角任一边,例1. 已知中,AB6,A30,B120,解此三 角形,【解析】 A30,B120 C18030120=30 由正弦定理得AC= sin sin = 6sin120 sin30 =6 3 , BC= sin sin = 6sin30 sin30 =6 C30,AC=6 3 ,BC=6,典例突破,两角任一边,变式1. 在中,已知B=45,C=60,a=12cm,解此 三角形,【解析】 B=45,C=60 A1804560=75 由正弦定理得= sin sin = 12sin45 sin75 =12 3 12, = sin sin = 12s

      5、in60 sin75 =18 2 6 6 A75,=12 3 12,= 18 2 6 6,典例突破,两边一对角,例2. 已知中,a =15,b =10,A60,则sin= ( ) A. 3 3 B. 6 3 C. 2 2 D. 3 2,【答案】A 【解析】由正弦定理 sin = sin 得sinB= sinA = 10 3 2 15 = 3 3,典例突破,两边一对角,变式2. 在ABC中,若 3 a=2bsinA,则B=_.,【答案】B=60 或 B=120 【解析】由正弦定理得 3 sinA=2sinBsinA sinA0 sinB= 3 2 又 B 0, B=60 或 B=120,典例突破,解题反思,解题反思 1. 从解题过程和结果上看,上述两个题型有什 么不同?,答: (1)“两角任一边”题型的解是唯一的; (2)“两边一对角”题型的解不具有唯一性,最后要根据条件检验解的合理性.,典例突破,解题反思,2. 你能否解释为什么“角角边”和角边角”可以判定两个三角形全等,而“边边角”不能?,答:“角角边”与“角边角”就是“两角任一边”的题型,从例2可以看出这两个条件都可唯一确定三角形,因而可以作为三角形全等的判定条件;,“边边角”即“两边一对角”的题型,从例2及其变式可知,这种题型的可能有两组解,即它不能唯一确定三角形,因而不是三角形全等的判定条件.,

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