【新步步高】2016-2017学年高二数学北师大版必修5 1.1.2 余弦定理（课件2）

1、1.2 余弦定理,高中数学必修5精品课件,第二章 解三角形,目标定位,【学习目标】,1. 进一步熟悉正、余弦定理及其推论； 2. 进一步了解正、余弦定理及其推论的适用范围； 3. 能根据所给元素，正确选择定理或推论并解三角形和判断 三角形的形状.,【重、难点】,重点： 正、余弦定理或其推论的灵活应用. 难点：解三角形时正确选择正、余弦定理或其推论.,学习目标和重难点,典例突破,（一）正、余弦定理解三角形,例1. 已知ABC中，= 3 ，= 2 ，=45，请分别用 正弦定理和余弦定理解此三角形.,【解析】方法1）正弦定理求解 由正弦定理得sin= sin = 3 sin45 2 = 3 2 = 3 2 = AB=45 A=60 或 A=120,典例突破,（一）正、余弦定理解三角形,当 A=60 时，C=75，c= sinC sin = 3 6 + 2 4 3 2 = 6 + 2 2 ； 当 A=120 时，C=15，c= sinC sin = 3 6 2 4 3 2 = 6 2 2 . 该三角形的解为A=60，C=75，c= 6 + 2 2 或 A=120，C=15，c= 6 2 2,典

2、例突破,（一）正、余弦定理解三角形,方法2）余弦定理求解 由余弦定理知 2 = 2 + 2 2cos， 即 2 2 = 3 2 + 2 2 3 2 2 ，即 2 6 +1=0， 解得= 6 + 2 2 或 = 6 2 2 . 当= 6 + 2 2 时，由余弦定理得 cos= 2 + 2 2 2 = 2+ 6 + 2 2 2 3 2 2 6 + 2 2 = 1 2,典例突破,（一）正、余弦定理解三角形, 0A180 A=60 C=75 同理，当 = 6 2 2 时，得=120，C=15 该三角形的解为A=60，C=75，c= 6 + 2 2 或 A=120，C=15，c= 6 2 2,典例突破,（一）正、余弦定理解三角形,变式1. 在ABC中，已知 = 6 + 2 ，=2 3 ，=75，解此三角形.,【解析】方法1） 由余弦定理 2 = 2 + 2 2acos 得 ( 6 + 2 ) 2 = 2 +(2 3 ) 2 2a2 3 cos75. 整理得 2 3 2 6 +44 3 =0，,典例突破,（一）正、余弦定理解三角形,解得=2 2 或 = 2 6 （舍） 由余弦定理的推论得cos=

3、2 + 2 2 2 = 8+ ( 6 + 2 ) 2 12 22 2 ( 6 + 2 ) = 1 2 又 0180 =60 A=1807560=45 该三角形的解为=2 2 ，=45，B=60.,典例突破,（一）正、余弦定理解三角形,方法2） 由正弦定理得sin= sin = 2 3 sin75 6 + 2 = 3 2 又 0180，且由 c 得C=75 =60 A=1807560=45， = sinA sin = 2 3 sin45 sin60 =2 2 该三角形的解为=2 2 ，=45，B=60.,典例突破,（一）正、余弦定理解三角形,【解题反思】通过例1和变式可以看出，“两边一对角”型的 解三角形问题，即可以用正弦定理，也可以用余弦定理，两 种方法各有什么利弊？,答：用正弦定理解题，是先求两角，再求第三边，计算简单，但需验证解的合理性；用正弦定理解题，是先求第三边，再求两角，计算复杂，但无需验证.,典例突破,（二）判断三角形形状,例2在中，已知 + + =3，sin= 2sincos，试判断的形状,【解析】方法1） 由 + + =3 得 + 2 2 =c，即 2 + 2 2 =c

4、 cos= 2 + 2 2 2 = 1 2 又 0A180 A=60,典例突破,（二）判断三角形形状,由sin=2sincos及= + 得 sin + =2sincos，即 sin cos +cosBsinC=2sincos， 即sin（）=0. 又120120 =0 ,即= 是等边三角形.,典例突破,（二）判断三角形形状,方法2） 由 + + =3 得 + 2 2 =c， 即 + 2 2 =c cos= 2 + 2 2 2 = 1 2 又 0A180 A=60 又由sin=2sincos及正弦定理得=2 2 + 2 2 2 , 即 2 = 2 ，即= 是等边三角形,典例突破,（二）判断三角形形状,【解题反思】解三角形问题中，常涉及边角混合式，请问解决这 类为题的一般思路是什么？,答：一般的解题思路是利用正余弦定理，进行边角互化，最终要么统一边，要么统一角. 一般来说，当等式是关于“边”或“角的正弦”的齐次式时，利用正弦定理；等式中含有“角的余弦”或“边的乘积”时，考虑用余弦定理.,典例突破,（二）判断三角形形状,变式2. (1) 在中，已知角A，B的对边分别为a,b，且满足 条件 c

5、osB = cos ，试判断的形状. (2) 在中，已知 cos+cos=cos，试判断 的形状,典例突破,（二）判断三角形形状,【解析】(1) 方法1） 由 cosB = cos 及正弦定理，得 sinA cosB = sin cos ， 得sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B 又 02A2，02B2 2A=2B 或 2A+2B=，即A=B 或 A+B= 2 为等腰三角形或直角三角形,典例突破,（二）判断三角形形状,方法2） 由 cosB = cos 及余弦定理的推论，得 2 + c 2 2 2 = 2 + c 2 2 2 ， 化简整理得 4 4 2 2 + 2 2 =0， 即 2 2 2 + 2 2 =0 =或 2 + 2 = 2 为等腰三角形或直角三角形,典例突破,（二）判断三角形形状,(2) 由cos+cos=cos及余弦定理得 2 + 2 2 2 + 2 + 2 2 2 = 2 + 2 2 2 ， 整理得 2 2 + 2 2 + 2 2 + 2 2 = 2 2 + 2 2 ， 即 2 2 2 = 4 ，解得 2 2 = 2 或 2 2 = 2 ， 即

6、2 = 2 + 2 或 2 = 2 + 2 . 是直角三角形,典例突破,（三）三角形的边角比,例3设ABC的内角 A，B，C 的对边分别为，若三边 的长为连续的三个正整数，且ABC，3=20cosA 则 sinA:sinB:sinC 为（ ） A4:3:2 B5:6:7 C5:4:3 D6:5:4,【解析】由题意可设 =+1，=1，则由 3=20cosA 和余弦定理得3=20(+1) 2 + (1) 2 (+1) 2 2(1) ， 整理得7 2 2740=0，解得=5，所以=6，=4， 所以 sinA:sinB:sinC=6：5：4，故选D.,典例突破,（三）三角形的边角比,【解题反思】 （1）要由边的比得到正弦值的比需用哪个定理？ （2）要由边的比得到角的比需用哪个定理？,答：（1）正弦定理；（2）余弦定理.,典例突破,（四）正余弦定理与三角公式的综合应用,例4. 在中，a3，b2，B2A. (1) 求cos A的值； (2) 求c的值,【解析】(1) a3，b2，B2A， 在ABC中，由正弦定理，得 3 sin = 2 6 sin2 ， 2sincos sin = 2 6 3 ，即

7、cos= 6 3 .,典例突破,（四）正余弦定理与三角公式的综合应用,(2) 方法1） 由余弦定理 2 = 2 + 2 2cos得9=24+ 2 4 6 6 3 ， 即 2 8+15=0，解=3 或 =5 若 =3，则=，得=，又B2A，A+B+C = 180 解得=45，=90，则 = 2 ，这与a3，b2矛盾 =3 不符合，舍去 =5,典例突破,（四）正余弦定理与三角公式的综合应用,方法2） 由(1)知cosA= 6 3 sinA= 1 cos 2 = 3 3 又 B2A cosB2cos2A1 1 3 sinB= 1 cos 2 = 2 2 3 在ABC中，sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB 5 3 9 . = sin sin .,典例突破,（四）正余弦定理与三角公式的综合应用,变式4. 设ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且 ac6，b2，cosB= 7 9 . (1) 求a、c的值； (2) 求sin(AB)的值,【解析】(1)由余弦定理，得b2a2c22accosB得， b2(ac)22ac(1cosB)， 又已知ac6，b2，cosB，ac9. 由ac6，ac9，解得a3，c3.,典例突破,（四）正余弦定理与三角公式的综合应用,(2) ABC中 cos= 7 9 sin= 1 cos 2 = 4 2 9 由正弦定理，得sin= sinB = 2 2 3 ac A为锐角 cos= 1 sin 2 = 1 3 sin(AB)sinAcosBcosAsinB 10 2 27 .,

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