【新步步高】2016-2017学年高二数学人教b必修5课件：2.2.2 等差数列的前n项和（二）

1、2.2 等差数列 2.2.2 等差数列的前n项和(二),明目标 知重点,填要点 记疑点,探要点 究所然,内容 索引,01,02,03,当堂测 查疑缺,04,明目标、知重点,1.掌握等差数列与其前n项和Sn有关的一些性质，能熟练运用这些性质解题. 2.掌握可以转化为等差数列的数列求和问题. 3.会用等差数列的相关知识解决简单的实际问题,填要点记疑点,等差数列前n项和的性质 (1)等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，那么数列Sk，S2kSk，S3kS2k，(kN)是等差数列，其公差等于 . (2)若在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在 ,k2d,最大值,最小值,n(anan1),nd,(2n1)an,探要点究所然,情境导学,在学等差数列时，我们探究了等差数列的一些性质，现在我们学习了等差数列的前n项和，它又有哪些性质？这就是本节我们探究的主要问题,探究点一 等差数列前n项和的性质,思考1 设an是等差数列，公差为d，Sn是前n项和，那么Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列吗？如果是，它们的公差是多少？ 答 由Sma1a2am，S2mSmam1am2a2ma1mda2mdam

2、mdSmm2d. 同理S3mS2ma2m1a2m2a3mS2mSmm2d. 所以Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列，并且公差为m2d.,同理T2n1(2n1)bn；,例1 (1)等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，求数列an的前3m项的和S3m； 解 方法一 在等差数列中，Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列. 30,70，S3m100成等差数列. 27030(S3m100)，S3m210.,即S3m3(S2mSm)3(10030)210.,反思与感悟 等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果.,解 设等差数列an的公差为d，,探究点二 求数列|an|的前n项和 例2 若等差数列an的首项a113，d4，记Tn|a1|a2|an|，求Tn. 解 a113，d4，an174n. 当n4时，Tn|a1|a2|an|a1a2an,当n5时，Tn|a1|a2|an| (a1a2a3a4)(a5a6an) S4(SnS4)2S4Sn,反思与感悟 等差数列an前n项的绝对值之和，根据绝对值的意义，应首先分清这个数列

3、的哪些项是负的，哪些项是非负的，然后再分段求出前n项的绝对值之和.,跟踪训练2 已知数列an中，Snn210n，数列bn的每一项都有bn|an|，求数列bn的前n项之和Tn的表达式. 解 由Snn210n得 anSnSn1112n(n2，nN). 验证a19也符合上式.an112n，nN. 当n5时，an0，此时TnSnn210n； 当n5时，an0，此时Tn2S5Snn210n50.,探究点三 等差数列的前n项和公式在实际中的应用 例3 李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄”，从8月1号开始，每个月的1号都存入100元，存期三年： (1)已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7，问到期时，李先生一次可支取本息共多少元？(“教育储蓄”不需缴利息税),解 100元“教育储蓄”存款的月利息是1002.70.27(元). 第1个100元存36个月，得利息0.2736(元)； 第2个100元存35个月，得利息0.2735(元)； 第36个100元存1个月，得利息0.271(元). 因此，到期时李先生获得利息 0.27(36351)179.82(元). 本息和为3 600179.823 77

4、9.82(元). 答 李先生一次可支取本息共3 779.82元.,(2)已知当年同档次的“零存整取”储蓄的月利率是1.725，问李先生办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益多少元？(“零存整取”需缴20%的利息税) 解 100元“零存整取”的月利息是1001.7250.172 5(元)， 存三年的利息是0.172 5(36351)114.885(元)， 因此，李先生多收益179.82114.885(120%)87.912(元). 答 李先生办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益87.912元.,反思与感悟 解决有关等差数列的实际应用题时，首先要搞清楚哪些量能成等差数列，建立等差数列的模型，然后根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数，最后转化为等差数列问题来解决.,跟踪训练3 甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？,解 设n分钟后第1次相遇，依题意，,解之得n7，n20(舍去). 第1次相遇是在开始运动后7分钟.,(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟

5、比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？ 解 设n分钟后第2次相遇，依题意，,解之得n15，n28(舍去). 第2次相遇是在开始运动后15分钟.,当堂测查疑缺,1,2,3,4,1.设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9等于( ) A.63 B.45 C.36 D.27,解析 数列an为等差数列，则S3，S6S3，S9S6为等差数列， 即2(S6S3)S3(S9S6)， S39，S6S327，则S9S645. a7a8a9S9S645.,B,1,2,3,4,A,1,2,3,4,3.在一个等差数列中，已知a1010，则S19_.,19a101910190.,190,1,2,3,4,4.某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？,1,2,3,4,解 设每次交款数额依次为a1，a2，a20， 则a1501 0001%60(元)， a250(1 00050)1%59.5(元)， a1050(1 000950)1%55.5(元)， 即第10个月应付款55.5元.,1,2,3,4,由于an是以60为首项，以0.5为公差的等差数列，,即全部付清后实际付款1 1051501 255(元).,呈重点、现规律,1.等差数列前n项和的性质 (1)对于前n项和形如SnAn2Bn的数列一定为等差数列，且公差为2A，记住这个结论，如果已知数列的前n项和可以直接写出公差. (2)关于奇数项的和与偶数项的和的问题，要根据项数来分析，当项数为奇数或偶数时，S奇与S偶的关系是不相同的.,2.等差数列an与数列|an|的前n项和 等差数列各项取绝对值后组成的数列|an|的前n项和，可分为以下情形： (1)等差数列|an|的各项都为非负数，这种情形中数列|an|就等于数列an，可以直接求解. (2)等差数列an中，a10，d0，这种数列只有前面有限项为非负数，从某项开始其余所有项都为负数，可把数列an分成两段来处理.,(3)等差数列an中，a10，这种数列只有前面有限项为负数，其余都为非负数，同样可以分成两段处理.,

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