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【新步步高】2016-2017学年高二数学人教b必修5课件:1.1.1 正弦定理(一)

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  • 卖家[上传人]:小**
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    • 1、1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理(一),明目标 知重点,填要点 记疑点,探要点 究所然,内容 索引,01,02,03,当堂测 查疑缺,04,1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法. 2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题.,明目标、知重点,1.在RtABC中,C90,则有 (1)AB ,0A90,0B90; (2)a2b2 (勾股定理);,90,c2,c,c,c,填要点记疑点,2.正弦定理:在一个三角形中,各边的长和它所对角的正弦的比相等,即 ,这个比值是三角形外接圆的 .,直径2R,3.解三角形:一般地,我们把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.,探要点究所然,情境导学,如图,固定ABC的边CB及B,使边AC绕着顶 点C转动.C的大小与它的对边AB的长度之间有 怎样的数量关系?能否用一个等式把这种关系精 确地表示出来?这就是本节我们要一起研究的问题.,探究点一 正弦定理的推导,思考1 在初中,我们已学过直角三角形,那么在直角三角形中,你能探究出角与边的等式关

      2、系吗?,答 如图,在RtABC中,,思考2 在锐角ABC中,以上关系式是否仍然成立?,答 如图,在锐角ABC中,作CDAB于点D,,思考3 在钝角ABC中,以上关系式是否仍然成立?,答 如图,作CDAB,交AB的延长线于点D,,思考4 从正弦定理的表达形式上,你能说明正弦定理的基本作用吗?,答 (1)正弦定理说明在同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数, 即存在正数k使aksin A,bksin B,cksin C;,从而知正弦定理的基本作用:,小结 一般地,我们把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.,例1 已知ABC,根据下列条件,求相应的三角形中其他边和角的大小(保留根号或精确到0.1); (1)A60,B45,a10;,解 因为C180604575,,(2)a3,b4,A30;,因此B41.8或B138.2(如图所示),,当B41.8时,C1803041.8108.2,,当B138.2时, C18030138.211.8,,因此C45或C135. 因为B120,所以C60. 因此C45,A180BC15

      3、.,再由正弦定理,得,反思与感悟 (1)已知两角和任一边,解三角形时,可直接利用正弦定理求得边的长,要注意结合三角形的内角和为180. (2)已知两边和一边的对角,利用正弦定理解三角形时可能出现一解,两解或无解的情况,要注意运用三角形中大边对大角的性质,判断解的个数.,跟踪训练1 在ABC中,分别根据下列条件,解三角形. (1)c10,A45,C30;,解 由三角形内角和定理得: B180(AC)180(4530)105,,(2)b4,c8,B30;,又30C150,C90,,(3)a7,b9,A100;,解 a7,b9,ab, AB, 又A100,本题无解.,cb,0C180,C45或135. 当C45时,A105,,探究点二 利用正弦定理证明几何问题,证明 如图,在ABD和CAD中,,反思与感悟 本例题证明了一个定理,即三角形角平分线定理,可以直接利用这个定理来证明或计算其他问题.,跟踪训练2 利用正弦定理证明定理:等腰三角形的两个底角相等.,证明 设等腰ABC的两边ABAC,,所以sin Csin B, 由于0BC180, 所以BC.,探究点三 正弦定理的几何解释,答 如图,因为

      4、ABC为锐角三角形, 连接BO交圆O于D,连接CD. 因为AD,,答 如图,当ABC为钝角三角形时, 连接BO交圆O于D,连接CD,,A180D,,例3 在任意ABC中,求证:a(sin Bsin C)b(sin Csin A)c(sin Asin B)0.,证明 由正弦定理,令aksin A,bksin B,cksin C,代入得: 左边k(sin Asin Bsin Asin Csin Bsin Csin Bsin A sin Csin Asin Csin B)0右边, 等式成立.,反思与感悟 正弦定理的变形公式aksin A,bksin B,cksin C(k0)能够使三角形边与角的关系相互转化.,跟踪训练3 在ABC中,角A、B、C的所对边分别是a、b、c,若ABC123,求abc的值. 解 ABC,ABC123,,当堂测查疑缺,1,2,3,4,1.在ABC中,一定成立的等式是( ) A.asin Absin B B.acos Abcos B C.asin Bbsin A D.acos Bbcos A,得asin Bbsin A,故选C.,C,1,2,3,4,2.在ABC中,已知A150,a3,则其外接圆的半径R的值为( ),R3.,A,1,2,3,4,3.在ABC中,sin Asin C,则ABC是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形,解析 由sin Asin C,0A180,0B180, AC, ac,ABC为等腰三角形.,B,1,2,3,4,呈重点、现规律,2.正弦定理的应用范围: (1)已知两角和任一边,求其他两边和一角. (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和两角.,3.利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化:一方面可以化边为角,转化为三角函数问题来解决;另一方面,也可以化角为边,转化为代数问题来解决.,

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