【世纪金榜】2017春人教版高中数学必修五课件：2.1 第2课时 数列的通项公式与递推公式2

1、第2课时 数列的通项公式与递推公式,【自主预习】 主题:数列的递推公式 1.若数列an首项a1=1,且有an=2an-1+3(n2),如何求a2,a3,a4? 提示:a2=2a1+3=5,a3=2a2+3=13,a4=2a3+3=29.,2.观察数列1,3,7,15,31,63,127,. 这个数列中的项有规律吗?它们存在怎样的规律? 用文字语言描述:有,首项为1,从第2项起每一项等于它的前一项的2倍再加1. ,用符号语言描述:a1=1,an=2an-1+1(nN*且n1). ,数列递推公式的定义 如果已知数列an的第1项(或前几项),且从第2项(或 某一项)开始的任一项an与它的前一项_(或前几项) (n2,nN*)间的关系可以用一个公式来表示,那么这 个公式就叫做这个数列的递推公式.,an-1,【深度思考】 结合教材P31例3你认为由数列递推公式写出数列前几 项的关键是什么? _ _,由数列递推公式写出数列前几项的关键是:要弄清楚,公式中各部分的关系,依次代入计算即可.,【预习小测】 1.(2016菏泽高二检测)已知数列an满足a1=0,an+1= (nN*),则a20= ( )

2、【解析】选B.a1=0, a4=0,数列an是 周期为3的数列,a20=a2=,2.已知数列an的首项a1=1,an+1= +1,则这个数列 的第4项是 ( ) 【解析】选B.由a1=1,an+1= 所以,3.数列1,3,6,10,15,的递推公式是 ( ) A.an+1=an+n(nN*) B.an=an-1+n(nN*,n2) C.an+1=an+(n+1)(nN*,n2) D.an=an-1+n+2(nN*,n2),【解析】选B.由a1=1,a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,a5-a4=5,所以an-an-1=n,故an=an-1+n(nN*,n2).,4.在数列an中,对于任意的整数p,q,ap+q=apq+1,若a1=1,则a3=_. 【解析】因为对任意的整数p,q都有ap+q=apq+1, 所以有a2=a11+1=2,a3=a1+2=a12+1=a2+1=3. 答案:3,5.数列an满足a1=1,an+1=2an-1(nN*),则a1000= _. 【解析】由a1=1,an+1=2an-1, 所以a2=2a1-1=1,a3=2a2-1=1, 故an=1,所以a

3、1000=1. 答案:1,6.已知数列an的第1项a1=1,以后各项由递推公式 an+1= 给出,试写出这个数列的前5项.(仿照教 材P31例3的解析过程),【解析】因为a1=1,an+1= 故该数列的前5项为,【互动探究】 1.若仅由数列an的递推关系an=ban-1+c(n2,nN*),能否确定数列an的每一项?,提示:仅由数列an的递推关系an=ban-1+c(n2,nN*),只能确定数列an中相邻两项之间的关系,而无法确定数列中的每一项.而要想确定数列中的每一项,还需知道数列的第一项或前几项.,2.数列的通项公式和递推公式能否互相转化? 提示:数列的通项公式和递推公式一般可以相互转化.但有些递推公式求不出通项公式,故数列的通项公式和递推公式并不一定能互相转化.,【探究总结】 知识归纳:,注意事项: 用递推公式给出一个数列应注意以下两点 (1)必须给出数列an的第1项或前几项. (2)必须给出数列an的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)之间的关系,并且这个关系可以用一个公式来表示.如果两个条件缺一个,数列就不能确定.,【题型探究】 类型一:数列通项公式的应用 【典例1】数

4、列an的通项公式是an= (nN*). (1)0和1是不是数列an中的项?如果是,那么是第几项? (2)数列an中是否存在连续且相等的两项?若存在,分 别是第几项?,【解题指南】(1)由an=0,an=1,若存在满足条件的正整数n,则这样的项存在;否则不存在. (2)由an=an+1确定n的值,若有解则存在,否则不存在.,【解析】(1)若0是数列an中的第n项,则 因为nN*,所以n=21. 所以0是an中的第21项, 若1是an中的第n项, 则,所以n2-21n-2=0, 因为方程n2-21n-2=0不存在正整数解, 所以1不是an中的项.,(2)假设an中存在第n项与第n+1项相等, 即an=an+1, 则 解得n=10,所以数列an中存在连续且相等的两项, 分别是第10项与第11项.,【规律总结】判断某数值是否为该数列中的项的方法 判断某数值是否为该数列中的项,先假设它是数列中的项,然后列出方程,若方程的解为正整数,则是数列的项;若方程无解或解不是正整数,则不是该数列中的项.,【巩固训练】数列an的通项公式为an=n2-5n+4 (nN*),问: (1)数列中有多少项为负数? (

5、2)n为何值时,an有最小值?并求出最小值.,【解题指南】数列的通项公式an与n是函数关系,本题为二次式,需结合二次函数知识探求,当然不能忘记n的取值范围.,【解析】(1)由an为负数,得n2-5n+40,解得1n4. 因为nN*,所以n=2,3.故数列有两项为负数. (2)因为an=n2-5n+4= 所以对称轴为n= =2.5.又因nN*,故n=2或3时,an有最小值. 其最小值为22-52+4=-2.,【补偿训练】已知数列an的通项公式为an= 则当an取得最大值时,n等于_.,【解析】由题意知 所以 解得 所以n=5或6. 答案:5或6,类型二:由递推公式求数列的项 【典例2】已知数列an满足a1=1,an=an-1+ (n2)写出该数列的前5项,并写出它的一个通项公式. 【解题指南】在递推公式中分别令n=1,2,3,4,5即可得 数列的前5项.观察前5项的分子分母的变化规律写出其 通项公式.,【解析】因为a1=1,an=an-1+ (n2), 故数列前5项分别为:,故数列an的一个通项公式为an=,【规律总结】由递推公式写出通项公式的方法 (1)先根据递推公式写出数列的前几项(

6、至少是前3项). (2)根据写出的前几项,观察归纳其特点,并把每一项统一形式.归纳出数列的一个通项公式.,【巩固训练】已知数列an的第1项是2,以后各项由公 式an= 给出,写出这个数列的前5项,并观察前5 项的特点写出数列an的一个通项公式.,【解题指南】在递推关系中分别令n=2,3,4,5即可求出数列an的前5项,然后结合前5项中每一项的分子与分母的特点,即可写出an的一个通项公式.,【解析】a1=2,a2= a3= a4= a5=,由于a1=2= a2=-2= a3= a4= a5= 故an=,类型三:由递推公式求数列的通项 【典例3】(1)在数列an中,a1=1,an+1= (nN*), 则an的通项公式为_. (2)设数列an中,a1=1,an= (n2),求an 的通项公式.,【解题指南】(1)将原式an+1= 变为 即 求解. (2)将原递推公式转化为 (n2),然后利用 累乘法求解.,【解析】(1)由an+1=,以上各式累加得: 即 答案:an=,(2)因为a1=1,an=( )an-1(n2), 所以 an= 又因为n=1时,a1=1,符合上式, 所以an= .,【延伸探究】若把本例(1)中的条件“an+1= ” 换为“an+1=an+lg ”,其他条件不变,则结果又是 什么?,【解析】由条件知 a2-a1=lg =lg 1-lg 2, a3-a2=lg =lg 2-lg 3, a4-a3=lg =lg 3-lg 4, ,an-an-1=lg(n-1)-lgn, 以上各式分别相加得an-a1=lg 1-lgn, 即an=a1-lgn=1-lgn.,【规律总结】由递推公式求通项公式的两种方法 (1)累加法:当an=an-1+f(n)时,常用an=(an-an-1)+(an-1- an-2)+(a2-a1)+a1求通项. (2)累乘法:当 =g(n)时,常用an= 求通项.,

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