2017_2018版高中数学第一章导数及其应用1.3.2第2课时利用导数研究函数的最值课件新人教b版选修

1、第2课时 利用导数研究函数的最值,第一章 1.3.2 利用导数研究函数的极值,学习目标 1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系. 2.会求某闭区间上函数的最值.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考1,知识点 函数的最大(小)值与导数,观察a，b上函数yf(x)的图象，试找出它的极大值、极小值.,答案,答案 极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4).,如图为yf(x)，xa，b的图象.,思考2,结合图象判断，函数yf(x)在区间a，b上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？,答案,答案 存在，f(x)minf(a)，f(x)maxf(x3).,思考3,函数yf(x)在a，b上的最大(小)值一定是某极值吗？,答案,答案 不一定，也可能是区间端点的函数值.,思考4,怎样确定函数f(x)在a，b上的最小值和最大值？,答案 比较极值与区间端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值.,(1)函数的最值 假设函数yf(x)在闭区间a，b上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在a，b内一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在 或 取得

2、，由于可导函数在区间(a，b)内的极值只可能在使_ 的点取得，因此把函数在 的值与区间内使 的点的值作比较，最大者必为函数在a，b上的最大值，最小者必为最小值.,梳理,f(x)0,极值点,区间端点,区间端点,f(x)0,(2)求函数yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤 求f(x)在开区间(a，b)内所有使 的点； 计算函数f(x)在区间内使 的所有点和 的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.,f(x)0,f(x)0,端点,题型探究,例1 已知函数f(x)x33x，xR. (1)求f(x)的单调区间；,解答,类型一 求函数的最值,命题角度1 不含参数的函数求最值,解 f(x)3x233(x1)(x1)， 当x1时，f(x)0； 当1x1时，f(x)0， 所以f(x)的单调增区间为(，1)和(1，)， 单调减区间为(1,1).,解答,f(x)的极大值为f(1)2，f(x)的极小值为f(1)2，,求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点 (1)对函数进行准确求导，并检验f(x)0的根是否在给定区间内. (2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值. (3)比较极值与

3、端点函数值的大小，确定最值.,反思与感悟,解析 f(x)2xsin x， 令f(x)0，即2xsin x0，得x0，,答案,解析,解答,由f(x)0，得x1，2(舍去). 函数f(x)，f(x)随x的变化状态如下表：,例2 已知函数f(x)ax3 x2b(xR). (1)若曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y6x8，求a，b的值；,解答,命题角度2 含参数的函数求最值,解 f(x)3ax23x， 由f(2)6，得a1. 由切线方程为y6x8，得f(2)4. 又f(2)8a6bb2，所以b2， 所以a1，b2.,(2)若a0，b2，当x1,1时，求f(x)的最小值.,解答,解 f(x)3ax23x3x(ax1).,若 1，即0a1， 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,若01， 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,跟踪训练2 求函数f(x) x34x4在0，a(a0)上的最大值和最小值.,解答,解 f(x)x24. 令f(x)0，得x2或x2(舍去). 因为0xa，所以当0a2时，f(x)0， 所以f(x)在区间0，a上是减函数.,当x0时，f(x

4、)取最大值f(0)4.,从上表可知：当x2时，f(x)取最小值f(2) ， f(x)的最大值为f(0)与f(a)中较大的一个.,当a2时，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,综上可得：,类型二 由函数的最值求参数,解答,例3 (1)已知函数f(x)ax36ax2b，x1,2的最大值为3，最小值为29，求a，b的值.,解 由题设知a0，否则f(x)b为常函数，与题设矛盾. 求导得f(x)3ax212ax3ax(x4)， 令f(x)0，得x10，x24(舍去). 当a0，且当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,由表可知，当x0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在1,2上的最大值，f(0)b3.,又f(1)7a3，f(2)16a3f(1)， f(2)16a293，解得a2. 综上可得a2，b3或a2，b29.,解答,(2)已知h(x)x33x29x1在区间k,2上的最大值是28，求k的取值范围.,解 h(x)x33x29x1，h(x)3x26x9. 令h(x)0，解得x13，x21， 当x变化时，h(x)及h(x)的变化情况如下表：,当x3时，f(x)取极大值28

5、；当x1时，f(x)取极小值4. 而h(2)3h(3)28，如果h(x)在区间k,2上的最大值为28，则k3. 即k的取值范围为(，3.,已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题.其中注意分类讨论思想的应用.,反思与感悟,跟踪训练3 设函数f(x)ln x ，m0，求f(x)的最小值为2时的m的值.,解答,所以当x(0，m)时，f(x)0，f(x)在(m，)上是增函数， 所以当xm时，f(x)取得极小值，也是最小值，即极小值为2， 即f(m)ln m 2，所以me.,类型三 与最值有关的恒成立问题,例4 (1)已知2xln xx2ax3对一切x(0，)恒成立，则a的取值范围为_.,答案,解析,(，4,解析 由2xln xx2ax3，,当x(0,1)时，h(x)0，h(x)为单调增函数. h(x)minh(1)4. ah(x)min4.,(2)设函数f(x)tx22t2xt1(xR，t0). 求f(x)的最小值h(t)；,解答,解 f(x)t(xt)2t3t1(xR，

6、t0)， 当xt时，f(x)取最小值f(t)t3t1， 即h(t)t3t1.,若h(t)2tm对t(0,2)恒成立，求实数m的取值范围.,解答,解 令g(t)h(t)(2tm)t33t1m， 由g(t)3t230，得t1，t1(不合题意，舍去). 当t变化时，g(t)，g(t)的变化情况如下表：,g(t)在(0,2)内有最大值g(1)1m. h(t)2tm在(0,2)内恒成立等价于g(t)0在(0,2)内恒成立， 即等价于1m0， m的取值范围为(1，).,分离参数求解不等式恒成立问题的步骤,反思与感悟,跟踪训练4 设f(x)ln x，g(x)f(x)f(x). (1)求g(x)的单调区间和最小值；,解答,解 由题设知f(x)的定义域为(0，)，,令g(x)0，得x1. 当x(0,1)时，g(x)0， 故(1，)是g(x)的单调增区间. 因此，x1是g(x)在(0，)上的唯一极值点，且为极小值点， 从而是最小值点，所以最小值为g(1)1.,解答,即ln a0成立. 由(1)知，g(x)的最小值为1， 所以ln a1，解得0ae. 故a的取值范围为(0，e).,当堂训练,1.函数f(x)

7、x33x(x1) A.有最大值，无最小值 B.有最大值，最小值 C.无最大值，最小值 D.无最大值，有最小值,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 令f(x)3x230，得x1或1(舍去)， 当x(，1)时，f(x)0，f(x)为单调增函数； 当x(1,1)时，f(x)0，f(x)为单调减函数. 故f(x)有最大值而无最小值.,2.函数f(x)x2ex1，x2,1的最大值为 A.4e1 B.1 C.e2 D.3e2,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 f(x)xex1(x2)， 令f(x)0，得x2或x0. 当f(x)0时，x0； 当f(x)0时，2x0.,当x0时，f(0)0； 当x1时，f(1)e2，所以函数的最大值为e2.故选C.,2,3,4,5,1,答案,解析,2,3,4,5,1,4.已知函数f(x) x42x33m，xR，若f(x)90恒成立，则实数m的 取值范围是_.,解析,答案,所以f(x)2x36x2， 令f(x)0，得x0或x3， 经检验知x3是函数的最小值点， 所以函数的最小值为f(3)3m . 不等式f(x)90恒成立，即f(x)9恒成立，,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,解析,答案,2,3,4,5,1,规律与方法,1.求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值. 2.已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论. 3.“恒成立”问题可转化为函数最值问题.,本课结束,

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