2018年高中数学 第三章 导数应用 3.1.1 导数与函数的单调性课件6 北师大版选修2-2
14页1、利用导数研究函数单调性,1 、函数 f(x) 在点 x0 处的导数定义,2 、某点处导数的几何意义,3 、导函数的定义,函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数 f (x0) 就是曲线 y = f(x) 在点 M(x0, y0) 处的切线的斜率.,一、复习回顾:导数的相关概念,引例 已知函数y=x24x3,求证:这个函数在区 间(2,+)上是单调递增的.,(1)任取x1x2 ( 2 ) 作差f(x1)-f(x2)并变形 (3)判断符号 (4)下结论,用定义法判断函数单调性的步骤:,新课讲授,引入 函数单调性体现出了函数值y随自变量x的变化而变化的情况,而导数也正是研究自变量的增加量与函数值的增加量之间的关系,于是我们设想一下能否利用导数来研究单调性呢?,这表明:导数的正、负与函数的单调性密 切相关,2,.,.,.,.,.,.,.,再观察函数y=x24x3的图象:,曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数 的图像可以看到:,函数的导数与函数的单调性的关系,增函数,减函数,正,负,0,0,总结:该函数在区间(,2)上单减,切线斜率小于0,即其导数为负,在区间(2,
2、+)上单增,切线斜率大于0,即其导数为正.而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0.函数在该点单调性发生改变.,设函数y=f(x)在某个区间内有导数,如果在这个区间内y 0,那么y=f(x)为这个区间内的增函数;如果在这个区间内y 0,那么y=f(x)为这个区间内的减函数.,判断函数单调性的常用方法: (1)定义法 (2)图像法 (3)导数法,结论:,y 0,增函数,y 0,减函数,判断函数单调性,1) 如果恒有 f(x)0,那么 y=f(x) 在这个区间(a,b)内单调递增;,2) 如果恒有 f(x)0,那么 y=f(x)在这个区间(a,b)内单调递减。,一般地,函数yf(x)在某个区间(a,b)内:,注意:如果在某个区间内恒有f(x)=0,则f(x)为常数函数.,例1、已知导函数 的下列信息:,当10; 当x4,或x1时, 0; 当x=4,或x=1时, =0. 试画出函数f(x)图象的大致形状。,临界点,例2、确定函数f(x)=x22x+4在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数.,解:f(x)=(x22x+4)=2x2.,令2x20,解得x1. 当x(1,+)时, f(x)0,f(
3、x)是增函数.,令2x20,解得x1. 当x(,1)时,f(x)0,f(x)是减函数,你们写对了吗?,利用导数讨论函数单调的步骤:,(2)求导数,(3)求解不等式f (x)0,求得其解集再根据解集写出单调递增区间 求解不等式f (x)0,求得其解集再根据解集写出单调递减区间,(1)求定义域D,说明:函数的单调区间必定是它的定义域的子区间,故求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义域,在求出使导数的值为正或负的x的范围时,要与定义域求两者的交集 单调区间不以“并集”出现,1、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为( ) (A) (-1,1) (B) (1,2) (C) (-,-1) (D) (-,-1) ,(1, +),课堂练习,答案:选A,2、判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:,解:,(1) 因为 , 所以,因此, 函数 在 上单调递增.,(2) 因为 , 所以,当 , 即 时, 函数 单调递增;,当 , 即 时, 函数 单调递减.,1.在某个区间(a,b)内, 如果导函数大于零,那么原函数在这个区间内单调递增; 如果导函数小于零,那么原函数在这个区间内单调递减.,2.求可导函数f(x)单调区间的步骤: (1)先求定义域,然后f(x) (2)解不等式f(x)0(或f(x)0) (3)确认并指出递增区间(或递减区间),3.证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性的方法: (1)先求定义域,然后求f(x) (2)确认f(x)在(a,b)内的符号 (3)作出结论,课堂小结,
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