求极限方法与技巧(黄玉芳)
25页1、求极限的方法与技巧求极限的方法与技巧 (一)利用极限四则运算法则求极限(一)利用极限四则运算法则求极限 例例 1.1 1.1 求极限 . 分析分析 本题属 型未定式,分子、分母均为有理多项式,往往采用约 分的方法,消去分子与分母的零因式 . 解法解法 1 1 原式 . 解法解法 2 2 见例 1.39. 例例 1.2 1.2 求极限 (其中 为正整数) . 分析分析 这是含根式的 型未定式,应当先将其有理化,再约去分子、 分母中的零因式 . 解解 令 ,则当 时, . 原式 . 例例 1.3 1.3 求极限 . 分析分析 时,它是 型未定式,将分子分母同除以 ,使之变 为适合于极限四则运算法则的函数极限 . 解解 原式 . 例例 1.4 1.4 设 ,则 . ( A ) (B) (C) (D) 解解 分子分母同除以 . 原式 . 故选( B ) . 例例 1.5 1.5 求极限 . 分析分析 当 时, , ,故这是 型未定式, 一般采用先通分的方法,然后视通分以后的极限类型再决定下一步应采取的方 法 . 解解 , 故通分以后将变成 型未定式,可约去分子分母中的零因式求极限 . 原式 .
2、 例例 1.6 1.6 求极限 . 分析分析 这是含有根式的 型未定式,可以先将分子有理化,化为 型未定式再求解 . 解解 原式 例例 1.7 1.7 求极限 . 分析分析 这是 型未定式,应当先将分子有理化,变为 型极限, 再作处理 . 解解 原式 . 这里,应当注意的是当函数中含有偶次根式时,若给分子、分母同除以 就应 当看 还是 . 例例 1.8 1.8 求极限 . 分析分析 随着 ,数列 的项数也趋向于无穷, 而极限的运算法则:代数和的极限等于极限的代数和只对有限多个函数成立 . 因此 , 求无穷多项和的极限时应当先利用某些求和公式将其变为有限项再继续 求解 . 解法解法 1 1 使用自然数前 项和公式: , 原式 . 解法解法 2 2 见例 1.47. 例例 1.9 1.9 求极限 ,其中 , . 分析分析 由于积的极限等于极限的积这一法则只对有限个因子成立, 因此, 应当先用求积公式将其变形 . 解解 多次使用恒等式 化简 . 当 时, ,而 ,故 ,从而 原式 . 例例 1.10 1.10 求极限 ,其中 , , . 分析分析 分子、分母均为无穷多项的和,应当先求出其和,
3、再求极限 . 解解 利用等比级数求和公式: . 原式 . (二)利用两个重要极限求极限(二)利用两个重要极限求极限 例例 1.11 1.11 求极限 . 分分析析 分子是三角函数的差,应当先将其化成积的形式,再利用重要极 限 . 解法解法 1 1 原式 . 解法解法 2 2 见例 1.40. 例例 1.12 1.12 求极限 . 分析分析 分子是三角函数,应当先将函数变形为重要极限的形式 . 解解 原式 . 例例 1.13 1.13 求极限 . 分析分析 极限中含有反三角函数,由于反三角函数的变形较不方便,故先 作变量替换将其转换为三角函数,再利用重要极限 . 解解 令 ,则 原式 例例 1.14 1.14 求极限 . 分析分析 对于无穷多个因子的积的极限,应当先求出其积,再求极限 . 解解 时, ; 当 时,因为对于充分大的正整数 ,有 成立,所以 ,多次使用倍角公式 , 化简 注意到 时, , ,故 原式 例例 1.15 1.15 求极限 ( 为正整数) . 分析分析 先将函数变形,然后利用幂的极限等于极限的幂与两个重要极限 公式进行计算 . 解解 原式 . 例例 1.16 1.1
4、6 求极限 . 解解 原式 例例 1.17 1.17 若 ,则 . 解解 , 故 . (三)利用夹逼准则求极限(三)利用夹逼准则求极限 例例 1.18 1.18 求极限 . 分析分析 当我们无法或不易把无穷多项的和变为有限项时,可考虑使用夹 逼准则 . 解解 因为 , 而 , , 故 原式 . 例例 1.19 1.19 求极限 . 分析分析 当我们无法或不易把无穷多个因子的积变为有限时,也可考虑使 用夹逼准则 . 解法解法 1 1 因为 . 不等式两端当 时都以为 极限,所以 原式 . 解法解法 2 2 见例 1.51. 例例 1.20 1.20 设 且 ,求极限 解解 因为 ,且 故 , 而 ,故由夹逼准则知 原式 . (四)利用单调有界准则求极限(四)利用单调有界准则求极限 例例 1.21 1.21 设 求 . 有人这样解这道题的:设 ,对式子 两边同时取极 限,得 ,解 之得 . 你认为他这样做对吗? 解解 这样做是不对的 . 事实上,由递推公式 及 可推知 ,这个数列的极限是不存在的 . 例例 1.22 1.22 设 ,求极限 . 解解 由 , 易知 . 根据算术平均数与几何平
《求极限方法与技巧(黄玉芳)》由会员suns****4568分享,可在线阅读,更多相关《求极限方法与技巧(黄玉芳)》请在金锄头文库上搜索。
土地管理与地籍测量---第八章界址点测量
人机工程学案例分析(2)
工程安全培训_201303
第9章房地产投资决策分析
第2章房地产经纪制度
ACM程序设计-东北林业大学acm05
《亲爱的汉修先生》读书交流会
中原_深圳新世界尖岗山项目市场汇报_40P_2012年_别墅_项目分析_量价走势
五年级数学质量分析演示文稿
人工智能小镇-智慧小镇建设20180525
景观基本知识及发展历程
建设工程信息管理(2)
机电驱动技术第二章步进驱动技术
工程力学-第9章圆轴扭转时的应力变形分析与强度刚度设计
第一章第二节幼儿园文化环境建设的原则
第一章检测技术的基础知识
第一章__现代表面工程技术
第六章钢结构工程
第9节项目试运行管理
班主任工作经验交流课件(4)
2023-12-25 6页
2023-07-02 5页
2024-01-12 5页
2023-07-14 15页
2023-02-23 60页
2022-12-26 6页
2022-10-01 11页
2023-12-01 16页
2024-02-06 15页
2023-08-02 5页