高考总复习《走向清华北大》精品课件44空间几何体的表面积与体积

1、第四十四讲第四十四讲 空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积 回归课本回归课本 1.柱体、锥体、台体的侧面积柱体、锥体、台体的侧面积,就是就是各侧面面积之和各侧面面积之和,表面积表面积 是是各个面的面积之和各个面的面积之和,即侧面积与底面积之和即侧面积与底面积之和. 2.把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形,称为它的称为它的展展 开图开图,它的表面积就是它的表面积就是展开图展开图的面积的面积. 3.圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积 S圆柱侧 圆柱侧=2rl,S柱柱=2r(r+l); S圆锥侧 圆锥侧=rl,S锥锥=r(r+l); S圆台侧 圆台侧=(r+r)l,S台台=(r2+r2+rl+rl). 4.柱、锥、台体的体积柱、锥、台体的体积 V长方体 长方体=abc,V正方体正方体=a3,V柱柱=Sh,V锥锥= , V台 台= (S+S+ )h. 这是柱体这是柱体 锥体锥体 台体统一计算公式台体统一计算公式,特别的圆柱特别的圆柱 圆锥圆锥 圆台圆台 还可以分别写成还可以分别写成: V圆柱 圆柱=r2h,

2、V圆锥圆锥= r2h,V圆台圆台= h(r2+rr+r2). 1 3 Sh 1 3 SS 1 3 1 3 5.球的体积及球的表面积球的体积及球的表面积 设球的半径为设球的半径为R,V球 球= R3,S球球=4R2. 4 3 考点陪练考点陪练 2, 3, 6, .2.3 2 .6. 6 1. AB CD 一个长方体有公共顶点的三个面的面积分别是 则这个长方体对角线的长是 222 2, 2, 3,1 :ab , 6,3 c, , 2 1 36. ab a bcb acc abc 解析 设长方体的长宽高分别为 、 、 由题意不妨设 解得所以长方体的对角线长为 答案答案:D 2.圆台上、下底面面积分别是圆台上、下底面面积分别是、4,侧面积是侧面积是6,这个圆台这个圆台 的体积是的体积是( ) 2 3 2 3 3 7 37 3 63 AB CD 2 1 1 2 22 12 22 11 2 12 2 22222 21 22 2 , 1, 4 ,2, ()6 , :r ,r ,l,h. lhrr,h213,hV (11 2 2. 3, 117 3 ()3 333 2 ). r r rr rr ll

3、h rrrr 圆台 解析 设圆台上、下底面半径分别为母线长为 高为 则解得 由得即故 答案答案:D 3.用与球心距离为用与球心距离为1的平面去截球的平面去截球,所得的截面面积为所得的截面面积为,则球则球 的体积为的体积为( ) 88 2 33 32 .8 2. 3 AB CD 3 :1,1, RV 48 2,2 3 R 3 . 解析 截面圆的半径为 又球心到截面距离等于 所以球 的半径故球的体积 答案答案:B 4.(2010广州一模广州一模)如果一个几何体的三视图如下图所示如果一个几何体的三视图如下图所示(单单 位长度位长度: cm),则此几何体的表面积是则此几何体的表面积是( ) A.(80+16 ) cm2 B.96 cm2 C.(96+16 ) cm2 D.112 cm2 2 2 解析解析:将几何体还原将几何体还原,如图如图:该几何体是由边长为该几何体是由边长为4的正方体和的正方体和 一个底面边长为一个底面边长为4高为高为2的正四棱锥构成的的正四棱锥构成的,在正四棱锥中在正四棱锥中, 可得可得 2 2,EG 四棱锥的表面积为四棱锥的表面积为S1=4 4 正方体除正方体除 去一个面

4、的表面积为去一个面的表面积为S2=542=80,所以此几何体的表面积所以此几何体的表面积 答案答案:A 1 2 2 216 2, 80 16 2.S 5.(2010山东临沂二模山东临沂二模)有一个正三棱柱有一个正三棱柱,其三视图如图其三视图如图,则其则其 体积等于体积等于( ) 3 3 .3.14 2 ABCD 解析解析:由图知该几何体为底面为正三角形的三棱柱由图知该几何体为底面为正三角形的三棱柱,底面三角底面三角 形高为形高为2,三棱柱的高为三棱柱的高为 故体积为故体积为 答案答案:D 3, 14 3 3 24. 23 V 类型一类型一 棱柱棱柱 棱锥棱锥 棱台的表面积棱台的表面积 体积体积 解题准备解题准备:求解有关多面体表面积问题的关键是利用几何图求解有关多面体表面积问题的关键是利用几何图 形的性质找到其特征几何图形形的性质找到其特征几何图形,从而体现出高、斜高、边从而体现出高、斜高、边 长等几何元素间的关系长等几何元素间的关系,如棱柱的矩形、棱锥中的直角三如棱柱的矩形、棱锥中的直角三 角形、棱台中的直角梯形等角形、棱台中的直角梯形等. 1.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系柱

5、体、锥体、台体的体积公式之间的关系,可表示为可表示为 2.解决不规则几何体的问题应注意应用以下方法解决不规则几何体的问题应注意应用以下方法: (1)几何体的几何体的“分割分割” 依据已知几何体的特征依据已知几何体的特征,将其分割成若干个易于求体积的几将其分割成若干个易于求体积的几 何体何体,进而求解进而求解. (2)几何体的几何体的“补形补形” 有时为了计算方便有时为了计算方便,可将几何体补成易求体积的几何体可将几何体补成易求体积的几何体,如长如长 方体、正方体等方体、正方体等. 【典例典例1】 如图如图,三棱柱三棱柱ABCA1B1C1中中,若若E F分别为分别为AB AC的中点的中点,平面平面EB1C1将三棱柱分成体积为将三棱柱分成体积为V1 V2的两部分的两部分 ,那么那么V1：V2=_. 解析解析 设三棱柱的高为设三棱柱的高为h,上下底的面积为上下底的面积为S,体积为体积为V,则则 V=V1+V2=Sh. E F分别为分别为AB AC的中点的中点, AEF 1 21 12 1 . 4 1117 S V VShV V :V7 (), 34412 5 , 12 :5. S h SSS

6、SSh Sh 答案答案 7：5. 类型二类型二 圆柱、圆锥、圆台的表面积、体积圆柱、圆锥、圆台的表面积、体积 解题准备解题准备:1.圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开 图的面积图的面积,因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各 线段与原几何体的关系是掌握它们的面积公式及解决相关线段与原几何体的关系是掌握它们的面积公式及解决相关 问题的关键问题的关键. 2.计算柱体、锥体、台体的体积关键是根据条件找出相应的计算柱体、锥体、台体的体积关键是根据条件找出相应的 底面面积和高底面面积和高,要充分利用多面体的截面及旋转体的轴截要充分利用多面体的截面及旋转体的轴截 面面,将空间问题转化为平面问题将空间问题转化为平面问题. 【典例典例2】 已知底面半径为已知底面半径为 ,母线长为母线长为 的圆柱的圆柱,挖挖 去一个以圆柱上底面圆心为顶点去一个以圆柱上底面圆心为顶点,下底面为底面的圆锥下底面为底面的圆锥,求求 所得几何体的表面积和体积所得几何体的表面积和体积. 3cm6cm 解解 如图如图,圆柱一个底面的面积为圆

7、柱一个底面的面积为 S底 底=r2= ( )2=3(cm3). 圆柱侧面面积为圆柱侧面面积为: S柱侧 柱侧=2 (cm2). 所挖圆锥的母线长为所挖圆锥的母线长为 =3(cm). 3 366 2 36 2 2 : S233cm. : SSSS363 cm 1 33 2 23 (3.6 23 3) 锥侧 底柱侧锥侧 所挖圆锥的侧面面积为 则所得几何体的表面积为 3 : VVVS 12 666 33 SS 3cm. 2 62 6 3 柱锥底底底 所得几何体的体积 类型三类型三 球的表面积、体积球的表面积、体积 解题准备解题准备:球的表面积与体积都只与半径球的表面积与体积都只与半径R有关有关,是以是以R为自变为自变 量的函数量的函数,一个球的半径给定一个球的半径给定,它的表面积、体积随之确定它的表面积、体积随之确定, 反过来反过来,给定一个球的表面积或体积给定一个球的表面积或体积,这个球的半径也就确这个球的半径也就确 定了定了. 【典例典例3】 如图如图,正三棱锥的高为正三棱锥的高为1,底面边长为底面边长为 内有一内有一 个球与它的四个面都相切个球与它的四个面都相切.求求:(1)棱锥的全面

8、积棱锥的全面积;(2)内切球内切球 的表面积与体积的表面积与体积. 2 6, 22 2 13 2 62, 32 1( 2)3. 1 2 639 2. 2 13 2(2 6)9 26 3. 2 1 S3 SSS9 2 FD PD 侧 侧全底 解底面正三角形的中心到一边的距离为 则正三棱锥侧面的斜高为 (2)设正三棱锥设正三棱锥PABC的内切球球心为的内切球球心为O,连接连接OP OA OB OC,而而O点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r. VP ABC=VOPAB+VOPBC+VOPAC+VOABC 2 ABC P 2 -ABC 111 (3 22 3) . 333 113 (2 6)12 3, 322 22 3)2 3, 2 32 3(3 22 3) 62, 18 123 22 3 SSrSr ( 62)(40 16 6) 472 6176 ( 62 V (3 S4 3 3 . V). 3 rr r r 侧全 内切球 内切球 又 得 类型四类型四 由几何体的三视图求几何体的表面积与体积由几何体的三视图求几何体的表面积与体积 解题准备解题准备:已知空间几何体的三视图求表面积已知空间几何体的三视图求表面积 体积是高考考体积是高考考 查的热点查的热点,对三视图的应用是解题的关键对三视图的应用是解题的关键.主要体现在以下主要体现在以下 两个方面的应用两个方面的应用:一是数据的给出一是数据的给出,通过三视图的长通过三视图的长 宽宽 高高 对应出空间几何体的相关长对应出空间几何体的相关长 宽宽 高高,从而求表面积和体积从而求表面积和体积, 但是要注意三视图中的数据与原几何体中的数据不一定一但是要注意三视图中的数据与原几何体中的数据不一定一 一对应一对应,识图时注意甄别识图时注意甄别.二是揭示空间几何体的结构特征二是揭示空间几何体的结构特征. 包括几何体的形状包括几何体的形状,平行垂直等结构特征平行垂直等结构特征,这些正是数据运这些正是数据运 算的依据算的依据. 【典例典例4】 一几何体按比例绘制的三视图如图所示一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位单位 :m): (1)试画出它的直观图试画出它的直观图; (2)求它的表面积和体积求它的表面积和体积. 分析分析 由三视图由三视图,正确的画出几何体

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