高中数学函数的最大值与最小值-3
19页1、函数的最大值与最小值,一、复习引入,如果在x0附近的左侧 f/(x)0 ,右侧f/(x)0 ,那么,f(x0) 是极小值.,2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充 分条件.极值只能在函数的导数为零且在其附近左右两侧的导数异号时取到.,3.在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上, 哪个值最大,哪个值最小,而不是极值.,1.当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方法是:,二、新课函数的最值,观察右边一个定义在区间a,b上的函数y=f(x)的图象,你能找出函数y=f(x)在区间a,b上的最大值、最小值吗?,发现图中_是极小值,_是极大值,在区间上的函数的最大值是_,最小值是_。,问题在于如果在没有给出函数图象的情况下,怎样才能判断出f(x3)是最小值,而f(b)是最大值呢?,三、例题选讲,例1:求函数y=x4-2x2+5在区间-2,2上的最大值与最小 值.,解:,令 ,解得x=-1,0,1.,当x变化时, 的变化情况如下表:,从上表可知,最大值是13,最小值是4.,一般地,求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下:,:求y=f(x)在(
2、a,b)内的极值(极大值与极小值);,:将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b) 比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.,求函数的最值时,应注意以下几点:,(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概 念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围 内讨论问题,是一个整体性的概念.,(2)闭区间a,b上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内 的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极 值必是函数的最值.,(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个,而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值),但除端点外在区间内部的最大值(或最小值),则一定是极大值(或极小值).,(4)如果函数不在闭区间a,b上可导,则在确定函数的最值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值.,(5)在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只有一个极值点(这样的函数称为单峰函数),那么要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值进行比较.,延伸1:设 ,函
3、数 的最 大值为1,最小值为 ,求常数a,b.,解:令 得x=0或a.,当x变化时, ,f(x)的变化情况如下表:,由表知,当x=0时,f(x)取得极大值b,而f(0)f(a),f(0) f(-1),f(1)f(-1).故需比较f(1)与f(0)的大小.,f(0)-f(1)=3a/2-10,所以f(x)的最大值为f(0)=b,故b =1.,又f(-1)-f(a)=(a+1)2(a-2)/20,所以f(x)的最小值为f(-1) =-1-3a/2+b=-3a/2,所以,延伸2:设p1,0x1,求函数f(x)=xp+(1-x)p的值域.,说明:由于f(x)在0,1上连续可导,必有最大值与最小值, 因此求函数f(x)的值域,可转化为求最值.,解:,令 ,则得xp-1=(1-x)p-1,即x=1-x,x=1/2.,而 f(0)=f(1)=1,因为p1,故11/2p-1.,所以f(x)的最小值为 ,最大值为1.,从而函数f(x)的值域为,练习2:求函数f(x)=p2x2(1-x)p(p是正数)在0,1上的最 大值.,解:,令 ,解得,在0,1上,有f(0)=0,f(1)=0,故所求最大值是,练习1
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